Matematyka.pl

Dane jest równanie \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d^2}x }{dx^2}+6 \frac{dy}{dx}+9y=0}\). Znajdź rozwiązanie szczególne spełniające warunki: \(\displaystyle{ y(0)=2, \frac{dy}{dx}(0)=2}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ y(x)=e ^{ \alpha x}\Rightarrow \frac{d^2}{dx^2}e ^{ \alpha x} -2 \frac{d}{dx} e ^{ \alpha x} -3e ^{ \alpha x} =0}\)
Rozwiązując równanie otrzymuję \(\displaystyle{ e ^{ \alpha x}\left( x^2-2 \alpha -3)=0\right}\)
\(\displaystyle{ y(x)=c(e ^{-x} +e^{3x} )}\)
Powyższy wynik jest rozwiązaniem ogólnym, w jaki sposób wyznaczyć "szczególne"
Dziękuję za pomoc!

Rozwiązanie ogólne:

\(\displaystyle{ y(x) = c_{1}e^{-x} +c_{2}e^{3x}.}\)

Rozwiązanie szczególne (Cauchy) wyznaczamy z warunków początkowych., określając wartości liczbowe stałych \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}}\)

A w jaki sposób je wyznaczyć? Robiłem równania 2 rzędu, ale po prawej stronie zawsze była funkcja X'a.

\(\displaystyle{ y(0) = c_{1}e^{0} +c_{2}e^{3\cdot 0)= 2 \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ y' (x) = -c_{1}e^{-x} + 3c_{2}e^{3x}}\)

\(\displaystyle{ y'(0) = -c_{1}e^{0} +3c_{2}e^{3\cdot 0} = 2 \ \ (2)}\)

Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2)}\), wyznaczając wartości stałych \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}.}\)