Dane jest równanie \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d^2}x }{dx^2}+6 \frac{dy}{dx}+9y=0}\). Znajdź rozwiązanie szczególne spełniające warunki: \(\displaystyle{ y(0)=2, \frac{dy}{dx}(0)=2}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ y(x)=e ^{ \alpha x}\Rightarrow \frac{d^2}{dx^2}e ^{ \alpha x} -2 \frac{d}{dx} e ^{ \alpha x} -3e ^{ \alpha x} =0}\)
Rozwiązując równanie otrzymuję \(\displaystyle{ e ^{ \alpha x}\left( x^2-2 \alpha -3)=0\right}\)
\(\displaystyle{ y(x)=c(e ^{-x} +e^{3x} )}\)
Powyższy wynik jest rozwiązaniem ogólnym, w jaki sposób wyznaczyć "szczególne"
Dziękuję za pomoc!
Równanie rzędu II
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 17 lis 2018, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białą
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 7921
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Równanie rzędu II
Rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ y(x) = c_{1}e^{-x} +c_{2}e^{3x}.}\)
Rozwiązanie szczególne (Cauchy) wyznaczamy z warunków początkowych., określając wartości liczbowe stałych \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}}\)
\(\displaystyle{ y(x) = c_{1}e^{-x} +c_{2}e^{3x}.}\)
Rozwiązanie szczególne (Cauchy) wyznaczamy z warunków początkowych., określając wartości liczbowe stałych \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 17 lis 2018, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białą
- Podziękował: 1 raz
Równanie rzędu II
A w jaki sposób je wyznaczyć? Robiłem równania 2 rzędu, ale po prawej stronie zawsze była funkcja X'a.
-
- Użytkownik
- Posty: 7921
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Równanie rzędu II
\(\displaystyle{ y(0) = c_{1}e^{0} +c_{2}e^{3\cdot 0)= 2 \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ y' (x) = -c_{1}e^{-x} + 3c_{2}e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ y'(0) = -c_{1}e^{0} +3c_{2}e^{3\cdot 0} = 2 \ \ (2)}\)
Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2)}\), wyznaczając wartości stałych \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}.}\)
\(\displaystyle{ y' (x) = -c_{1}e^{-x} + 3c_{2}e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ y'(0) = -c_{1}e^{0} +3c_{2}e^{3\cdot 0} = 2 \ \ (2)}\)
Rozwiązujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2)}\), wyznaczając wartości stałych \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}.}\)