Matematyka.pl

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne poniższych równań Bernulliego lub szczególne jeżeli podany jest warunek początkowy. Jeżeli jest to możliwe podać rozwiązanie
w postaci jawnej

\(\displaystyle{ y' = y^{2}e^{x} - y}\)

Podzielmy równanie stronami przez \(\displaystyle{ y^2}\), a otrzymamy
\(\displaystyle{ \frac{y'}{y^2}=e^x-\frac 1 y}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ z(x)=-\frac 1 y}\) i mamy równanie
\(\displaystyle{ z'-z=e^x}\), które możemy rozwiązać tak:
równanie jednorodne \(\displaystyle{ z'-z=0}\) ma rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ z_j(x)=C\cdot e^x}\)
Teraz używamy metody wariacji parametru, tj. niech \(\displaystyle{ C:=C(x)}\) i wstawiamy to do równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ z'-z=e^x}\).
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ C'(x)e^x=e^x\\ C'(x)=1\\ C(x)=x+A}\).
Otrzymaliśmy zatem dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ A}\) rozwiązanie równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ z'-z=e^x}\)
postaci
\(\displaystyle{ z(x)=(x+A)e^x}\)
czyli
\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{z}=-\frac{e^{-x}}{x+A}}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) to dowolna stała.
Jest jeszcze taka pułapka, że funkcja stale równa zero też spełnia to równanie, a dla niej nie możemy sobie tak podzielić itd.