Rozwiąż równanie, tzn. znajdź funkcję.:\(\displaystyle{ x(t)}\):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \sqrt{x'^2+y'^2}dt =t}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ x=h(t)}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{t}{1+t}}\)
może prostsza wersja:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x(t)}x(t)dt=t= \int_{0}^{t}x[x(t)]x'(t)dt=t}\)
mamy tu całkowanie wzdłuż krzywej...
po zróżniczkowaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ x[x(t)]x'(t)=1}\)
a teraz...
Równanie całkowe
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Równanie całkowe
Korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego - różniczkujemy równanie stronami względem \(\displaystyle{ t.}\)
Podnosimy otrzymane równanie do kwadratu.
Rozwiązujemy równanie różniczkowe zwyczajne względem \(\displaystyle{ y.}\)
Podnosimy otrzymane równanie do kwadratu.
Rozwiązujemy równanie różniczkowe zwyczajne względem \(\displaystyle{ y.}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Równanie całkowe
od razu by było źle bo najpierw trzeba wykonać całkowanie po krzywej...Korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego - różniczkujemy równanie stronami względem t.
Drugi niby prostszy przykład doprowadził do równania różniczkowego ze złożeniem funkcji i tu jest pies pogrzebany...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Równanie całkowe
To pociągnij temat rozwiąż:
\(\displaystyle{ f(f(x))f'(x)=1}\)
Już w przypadku gdy:
\(\displaystyle{ g(x)=e^x}\)
To znalezienie takiej f(x), że:
\(\displaystyle{ f(f(x))=e^x}\)
jest trudne ale wykonalne, a co dopiero w przypadku ogólnym...
bo dla:
\(\displaystyle{ ff(x)=x}\)
jest banalne...
\(\displaystyle{ f(f(x))f'(x)=1}\)
Już w przypadku gdy:
\(\displaystyle{ g(x)=e^x}\)
To znalezienie takiej f(x), że:
\(\displaystyle{ f(f(x))=e^x}\)
jest trudne ale wykonalne, a co dopiero w przypadku ogólnym...
bo dla:
\(\displaystyle{ ff(x)=x}\)
jest banalne...