Matematyka.pl

Witam, niezbyt rozumiem metodę rozwiązywania tych dwóch typów. Przykładowo mam równanie:
\(\displaystyle{ y=y' x^{2}+x}\). Wiem, że powinienem teraz podstawić p=y' i zróżniczkować obustronnie po x, co w efekcie daje mi:
\(\displaystyle{ p=p' x^{2}+2xp+1}\) Tylko teraz niezbyt mam pomysł jak to zmodyfikować, żeby uzyskać pożądaną formę, ani co robić dalej. Czy mógłby ktoś powiedzieć mi mniej więcej jak rozwiązywać ten typ równań i jak się do tego schematu ma szczególny przypadek Claireaut'a? Z góry dziękuję za pomoc

Czemu chcesz tak robić, zrób za pomocą czynnika całkującego , ładnie wyjdzie, czynnik całkujący wyniesie:

\(\displaystyle{ \mu= \frac{e^{ \frac{1}{x} }}{x^2}}\)

Znaczy zadanie było w dziale równań Lagrange'a i Claireaut'a i bardziej zależy mi na zrozumieniu metody niż na rozwiązaniu przykładu.

Tak ale jak rozwiążesz to swoim sposobem? krótsze zamieniłeś na dłuższe...

Brian, weź wydaj kolejną płytę (niektóre były świetne), a nie tam nadużywasz apostrofów i popełniasz błędy w pisowni nazwisk. Ten pan tak się nazywał:
i jeśli już chcesz koniecznie odmieniać jego nazwisko, to „Clairauta" a nie „Claireaut'a". Tutaj masz coś na temat odmiany tego typu nazwisk:


Bierzemy równanie:
\(\displaystyle{ y=y' x^{2}+x}\)
Różniczkujemy je stronami po \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ y'=y''x^2+2xy'+1}\)
Przyjmujemy \(\displaystyle{ p=y'}\):
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)+1=0}\)
Równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)=0}\)
ma rozwiązanie
\(\displaystyle{ p_j(x)=\frac {C} {x^2} e^{-\frac 1 x}}\)
Teraz używamy metody wariacji parametru, niech \(\displaystyle{ C:=C(x)}\) i wstawiamy do równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ p'x^2+p(2x-1)+1=0}\):
\(\displaystyle{ \left( \frac {C(x)} {x^2} e^{-\frac 1 x}\right)'x^2+\left( \frac {C(x)} {x^2} e^{-\frac 1 x}\right)(2x-1)+1=0}\)
i to sobie dolicz (ja tego robić nie zamierzam), wykonując różniczkowanie itd., dostaniesz bardzo proste równanie na \(\displaystyle{ C(x)}\) i wówczas
\(\displaystyle{ p=\frac{C(x)}{x^2}e^{-\frac 1 x}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y'=\frac{C(x)}{x^2}e^{-\frac 1 x}}\),
to całkujesz i bon voyage.
Mogłem pokręcić jakieś nazewnictwo, ale tak to mniej więcej idzie.