Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu
: 28 paź 2018, o 20:10
Hej,
Mam potrzebę rozwiązania takiego o to równania:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )}}\)
Dla przypadku gdy delta < 0
mamy dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ s_{1,2} = - \frac{R }{2L} \pm j\sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{R ^{2} }{4L ^{2} } } = -\partial \pm j\omega_0}\)
Stosując rozkład na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - s_1} + \frac{C}{s - s_2}}\)
\(\displaystyle{ s ^{2}a = A(s - s_1)(s - s_2) + Bs(s - s_2) + Cs(s - s_1)}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = 0 \ A = 0}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = s_1 \ B = \frac{s_1 a}{s_1 - s_2}}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = s_2 \ C = \frac{s_2 a}{s_2 - s_1}}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_1} \right\} +
\frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ Laplace ^{-1} \left\{ \frac{1}{s-x} \right\} = e ^{xt}}\)
\(\displaystyle{ s_1 - s_2 = -\partial + j\omega_0 -(-\partial - j\omega_0) = 2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ s_2 - s_1 = -\partial - j\omega_0 -(-\partial + j\omega_0) = -2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot e ^{s_1 t} +
\frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot e ^{s_2 t} = \newline
\frac{(-\partial + j\omega_0) a}{2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial + j\omega_0) t} +
\frac{(-\partial - j\omega_0) a}{-2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial - j\omega_0)t} = \newline\newline
\frac{a}{\omega_0} ( \frac{ (-\partial + j\omega_0)e ^{(-\partial + j\omega_0) t} - (-\partial - j\omega_0)e ^{(-\partial - j\omega_0)t}}{2j})}\)
I tutaj mam problem, przez to że ma:
\(\displaystyle{ -\partial + j\omega_0 \ oraz \ -\partial - j\omega_0}\)
nie mogę zastsować wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{e ^{jx} - e ^{-jx} }{2j}}\)
Może ktoś z was podrzuci jakiś pomysł jak pozbyć się części urojonych?
Pozdrawiam
Mam potrzebę rozwiązania takiego o to równania:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )}}\)
Dla przypadku gdy delta < 0
mamy dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ s_{1,2} = - \frac{R }{2L} \pm j\sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{R ^{2} }{4L ^{2} } } = -\partial \pm j\omega_0}\)
Stosując rozkład na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - s_1} + \frac{C}{s - s_2}}\)
\(\displaystyle{ s ^{2}a = A(s - s_1)(s - s_2) + Bs(s - s_2) + Cs(s - s_1)}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = 0 \ A = 0}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = s_1 \ B = \frac{s_1 a}{s_1 - s_2}}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = s_2 \ C = \frac{s_2 a}{s_2 - s_1}}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_1} \right\} +
\frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ Laplace ^{-1} \left\{ \frac{1}{s-x} \right\} = e ^{xt}}\)
\(\displaystyle{ s_1 - s_2 = -\partial + j\omega_0 -(-\partial - j\omega_0) = 2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ s_2 - s_1 = -\partial - j\omega_0 -(-\partial + j\omega_0) = -2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot e ^{s_1 t} +
\frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot e ^{s_2 t} = \newline
\frac{(-\partial + j\omega_0) a}{2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial + j\omega_0) t} +
\frac{(-\partial - j\omega_0) a}{-2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial - j\omega_0)t} = \newline\newline
\frac{a}{\omega_0} ( \frac{ (-\partial + j\omega_0)e ^{(-\partial + j\omega_0) t} - (-\partial - j\omega_0)e ^{(-\partial - j\omega_0)t}}{2j})}\)
I tutaj mam problem, przez to że ma:
\(\displaystyle{ -\partial + j\omega_0 \ oraz \ -\partial - j\omega_0}\)
nie mogę zastsować wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{e ^{jx} - e ^{-jx} }{2j}}\)
Może ktoś z was podrzuci jakiś pomysł jak pozbyć się części urojonych?
Pozdrawiam