Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu
Hej,
Mam potrzebę rozwiązania takiego o to równania:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )}}\)
Dla przypadku gdy delta < 0
mamy dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ s_{1,2} = - \frac{R }{2L} \pm j\sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{R ^{2} }{4L ^{2} } } = -\partial \pm j\omega_0}\)
Stosując rozkład na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - s_1} + \frac{C}{s - s_2}}\)
\(\displaystyle{ s ^{2}a = A(s - s_1)(s - s_2) + Bs(s - s_2) + Cs(s - s_1)}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = 0 \ A = 0}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = s_1 \ B = \frac{s_1 a}{s_1 - s_2}}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = s_2 \ C = \frac{s_2 a}{s_2 - s_1}}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_1} \right\} +
\frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ Laplace ^{-1} \left\{ \frac{1}{s-x} \right\} = e ^{xt}}\)
\(\displaystyle{ s_1 - s_2 = -\partial + j\omega_0 -(-\partial - j\omega_0) = 2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ s_2 - s_1 = -\partial - j\omega_0 -(-\partial + j\omega_0) = -2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot e ^{s_1 t} +
\frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot e ^{s_2 t} = \newline
\frac{(-\partial + j\omega_0) a}{2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial + j\omega_0) t} +
\frac{(-\partial - j\omega_0) a}{-2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial - j\omega_0)t} = \newline\newline
\frac{a}{\omega_0} ( \frac{ (-\partial + j\omega_0)e ^{(-\partial + j\omega_0) t} - (-\partial - j\omega_0)e ^{(-\partial - j\omega_0)t}}{2j})}\)
I tutaj mam problem, przez to że ma:
\(\displaystyle{ -\partial + j\omega_0 \ oraz \ -\partial - j\omega_0}\)
nie mogę zastsować wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{e ^{jx} - e ^{-jx} }{2j}}\)
Może ktoś z was podrzuci jakiś pomysł jak pozbyć się części urojonych?
Pozdrawiam
Mam potrzebę rozwiązania takiego o to równania:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )}}\)
Dla przypadku gdy delta < 0
mamy dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ s_{1,2} = - \frac{R }{2L} \pm j\sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{R ^{2} }{4L ^{2} } } = -\partial \pm j\omega_0}\)
Stosując rozkład na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - s_1} + \frac{C}{s - s_2}}\)
\(\displaystyle{ s ^{2}a = A(s - s_1)(s - s_2) + Bs(s - s_2) + Cs(s - s_1)}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = 0 \ A = 0}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = s_1 \ B = \frac{s_1 a}{s_1 - s_2}}\)
\(\displaystyle{ Dla \ s = s_2 \ C = \frac{s_2 a}{s_2 - s_1}}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_1} \right\} +
\frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ Laplace ^{-1} \left\{ \frac{1}{s-x} \right\} = e ^{xt}}\)
\(\displaystyle{ s_1 - s_2 = -\partial + j\omega_0 -(-\partial - j\omega_0) = 2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ s_2 - s_1 = -\partial - j\omega_0 -(-\partial + j\omega_0) = -2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot e ^{s_1 t} +
\frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot e ^{s_2 t} = \newline
\frac{(-\partial + j\omega_0) a}{2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial + j\omega_0) t} +
\frac{(-\partial - j\omega_0) a}{-2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial - j\omega_0)t} = \newline\newline
\frac{a}{\omega_0} ( \frac{ (-\partial + j\omega_0)e ^{(-\partial + j\omega_0) t} - (-\partial - j\omega_0)e ^{(-\partial - j\omega_0)t}}{2j})}\)
I tutaj mam problem, przez to że ma:
\(\displaystyle{ -\partial + j\omega_0 \ oraz \ -\partial - j\omega_0}\)
nie mogę zastsować wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{e ^{jx} - e ^{-jx} }{2j}}\)
Może ktoś z was podrzuci jakiś pomysł jak pozbyć się części urojonych?
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 28 paź 2018, o 20:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r
Wymnażamy licznik.
Z części rzeczywistych przy \(\displaystyle{ \partial}\) tworzymy \(\displaystyle{ -\sin (z)}\) a z części zespolonych przy \(\displaystyle{ j\omega_{o},}\) mnożąc i dzieląc licznik przez \(\displaystyle{ 2j}\) - otrzymujemy \(\displaystyle{ -2\omega_{0}\cos (z).}\)
Z części rzeczywistych przy \(\displaystyle{ \partial}\) tworzymy \(\displaystyle{ -\sin (z)}\) a z części zespolonych przy \(\displaystyle{ j\omega_{o},}\) mnożąc i dzieląc licznik przez \(\displaystyle{ 2j}\) - otrzymujemy \(\displaystyle{ -2\omega_{0}\cos (z).}\)
Ostatnio zmieniony 28 paź 2018, o 23:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu
Przepraszam, ale jeśli można by było to bez skrótów myślowych. Nie do końca wiem przez co wymnażamy licznik, więc już przy tym urywa mi się sens odpowiedzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r
Również jestem ciekaw pełnego rozwiązania.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r
Chwilę jeszcze pogrzebałem i znalazłem rozwiązani, które może być referencyjne:
... nsform.pdf
strona 55
Zastanawiam się czy jest jakieś rozwiązanie by nie wyliczać argumentu liczby zespolonej.
... nsform.pdf
strona 55
Zastanawiam się czy jest jakieś rozwiązanie by nie wyliczać argumentu liczby zespolonej.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu
Z Twoich przekształceń
\(\displaystyle{ \frac{a}{\omega_{0}}\left[\frac{ -\partial e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+j\omega_{0}e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+\partial e^{(-\partial -j\omega_{0})t}+j\omega_{0}e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}{2j}\right]=\frac{-a\partial}{\omega_{0}}\left[ \frac{ e^{(-\partial +j\omega_{0})t}-e^{(-\partial -j\omega_{0})t} }{2j}\right] +\\ + a\left [ \frac{e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}{2}}\right] = \frac{-a\partial }{\omega_{0}}\sin(\Omega t) + a\cos(\Omega t).}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\omega_{0}}\left[\frac{ -\partial e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+j\omega_{0}e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+\partial e^{(-\partial -j\omega_{0})t}+j\omega_{0}e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}{2j}\right]=\frac{-a\partial}{\omega_{0}}\left[ \frac{ e^{(-\partial +j\omega_{0})t}-e^{(-\partial -j\omega_{0})t} }{2j}\right] +\\ + a\left [ \frac{e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}{2}}\right] = \frac{-a\partial }{\omega_{0}}\sin(\Omega t) + a\cos(\Omega t).}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2018, o 10:35 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r
Chyba jeszcze trzeba wyciągnąć z wykładnika eksponenty \(\displaystyle{ \partial}\) aby zastosować wzory Eulera?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r
Nie trzeba.
\(\displaystyle{ \cos (z) = \frac{e^{iz} +e^{-iz}}{2}, \ \ \sin (z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\)
\(\displaystyle{ \cos (z) = \frac{e^{iz} +e^{-iz}}{2}, \ \ \sin (z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2018, o 11:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r
\(\displaystyle{ e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}}\) nie jest równe \(\displaystyle{ e^{-iz}}}\)
Trzeba wyciągnąć \(\displaystyle{ e ^{-\partial t} e^{-j\omega_{0}t}}}\) wtedy \(\displaystyle{ e^{-j\omega_{0}t}}\) = \(\displaystyle{ e^{-iz}}}\)
Przynajmniej takie było rozwiązanie gdy miałem rozwiązanie równania kwadratowego z pierwiastkami rzeczywistymi.
Tak czy siak, dzięki za pokazanie jak to ruszyć dalej.
Trzeba wyciągnąć \(\displaystyle{ e ^{-\partial t} e^{-j\omega_{0}t}}}\) wtedy \(\displaystyle{ e^{-j\omega_{0}t}}\) = \(\displaystyle{ e^{-iz}}}\)
Przynajmniej takie było rozwiązanie gdy miałem rozwiązanie równania kwadratowego z pierwiastkami rzeczywistymi.
Tak czy siak, dzięki za pokazanie jak to ruszyć dalej.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu
Zgadzam się z Tobą, że w wykładnikach potęgi powinny występować liczby zespolone przeciwne, a nie sprzężone. Wyłącz exponent z częścią rzeczywistą przed nawias.
Gdybyś chciał zapoznać się dokładnie z rozwiązaniami układu RLC metodą rachunku operatorowego Laplace'a zachęcam do jednego z podręczników:
Kazimierz Mikołajuk. Zdzisław Trzaska ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA. Analiza i synteza elektrycznych obwodów liniowych. PWN Warszawa 1984.
Zdisław Klonowicz. Zdzisław Zubrzycki Teoria Obwodów Tom I PWN wARSZAWA 1983.
Maciej Krakowski. ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA .Tom I. Obwody liniowe i nieliniowe. PWN Warszawa 1981.
Gdybyś chciał zapoznać się dokładnie z rozwiązaniami układu RLC metodą rachunku operatorowego Laplace'a zachęcam do jednego z podręczników:
Kazimierz Mikołajuk. Zdzisław Trzaska ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA. Analiza i synteza elektrycznych obwodów liniowych. PWN Warszawa 1984.
Zdisław Klonowicz. Zdzisław Zubrzycki Teoria Obwodów Tom I PWN wARSZAWA 1983.
Maciej Krakowski. ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA .Tom I. Obwody liniowe i nieliniowe. PWN Warszawa 1981.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r
Dziękuję za pozycję, chętnie je nabędę by poszerzyć swoją wiedzę.