Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Lazor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: Lazor » 28 paź 2018, o 20:10

Hej,
Mam potrzebę rozwiązania takiego o to równania:

\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )}}\)

Dla przypadku gdy delta < 0

mamy dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ s_{1,2} = - \frac{R }{2L} \pm j\sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{R ^{2} }{4L ^{2} } } = -\partial \pm j\omega_0}\)

Stosując rozkład na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{s ^{2}a}{s(s ^{2} + \frac{R}{L} + \frac{1}{LC} )} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - s_1} + \frac{C}{s - s_2}}\)

\(\displaystyle{ s ^{2}a = A(s - s_1)(s - s_2) + Bs(s - s_2) + Cs(s - s_1)}\)

\(\displaystyle{ Dla \ s = 0 \ A = 0}\)

\(\displaystyle{ Dla \ s = s_1 \ B = \frac{s_1 a}{s_1 - s_2}}\)

\(\displaystyle{ Dla \ s = s_2 \ C = \frac{s_2 a}{s_2 - s_1}}\)

\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_1} \right\} + \frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot Laplace ^{-1}\left\{ \frac{1}{s-s_2} \right\}}\)

\(\displaystyle{ Laplace ^{-1} \left\{ \frac{1}{s-x} \right\} = e ^{xt}}\)

\(\displaystyle{ s_1 - s_2 = -\partial + j\omega_0 -(-\partial - j\omega_0) = 2j\omega_0}\)
\(\displaystyle{ s_2 - s_1 = -\partial - j\omega_0 -(-\partial + j\omega_0) = -2j\omega_0}\)

\(\displaystyle{ f(t) = 0+ \frac{s_1 a}{s_1 - s_2} \cdot e ^{s_1 t} + \frac{s_2 a}{s_2 - s_1} \cdot e ^{s_2 t} = \newline \frac{(-\partial + j\omega_0) a}{2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial + j\omega_0) t} + \frac{(-\partial - j\omega_0) a}{-2j\omega_0} \cdot e ^{(-\partial - j\omega_0)t} = \newline\newline \frac{a}{\omega_0} ( \frac{ (-\partial + j\omega_0)e ^{(-\partial + j\omega_0) t} - (-\partial - j\omega_0)e ^{(-\partial - j\omega_0)t}}{2j})}\)

I tutaj mam problem, przez to że ma:
\(\displaystyle{ -\partial + j\omega_0 \ oraz \ -\partial - j\omega_0}\)

nie mogę zastsować wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{e ^{jx} - e ^{-jx} }{2j}}\)

Może ktoś z was podrzuci jakiś pomysł jak pozbyć się części urojonych?
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 28 paź 2018, o 20:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5044
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1107 razy

Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r

Post autor: janusz47 » 28 paź 2018, o 21:17

Wymnażamy licznik.

Z części rzeczywistych przy \(\displaystyle{ \partial}\) tworzymy \(\displaystyle{ -\sin (z)}\) a z części zespolonych przy \(\displaystyle{ j\omega_{o},}\) mnożąc i dzieląc licznik przez \(\displaystyle{ 2j}\) - otrzymujemy \(\displaystyle{ -2\omega_{0}\cos (z).}\)
Ostatnio zmieniony 28 paź 2018, o 23:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Lazor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: Lazor » 28 paź 2018, o 21:38

Przepraszam, ale jeśli można by było to bez skrótów myślowych. Nie do końca wiem przez co wymnażamy licznik, więc już przy tym urywa mi się sens odpowiedzi.

Grunwald1410
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 paź 2018, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r

Post autor: Grunwald1410 » 28 paź 2018, o 22:08

Również jestem ciekaw pełnego rozwiązania.

Lazor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r

Post autor: Lazor » 28 paź 2018, o 22:15

Chwilę jeszcze pogrzebałem i znalazłem rozwiązani, które może być referencyjne:
https://www.ius.edu.ba/sites/default/fi ... nsform.pdf
strona 55

Zastanawiam się czy jest jakieś rozwiązanie by nie wyliczać argumentu liczby zespolonej.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5044
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1107 razy

Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: janusz47 » 29 paź 2018, o 10:23

Z Twoich przekształceń

\(\displaystyle{ \frac{a}{\omega_{0}}\left[\frac{ -\partial e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+j\omega_{0}e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+\partial e^{(-\partial -j\omega_{0})t}+j\omega_{0}e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}{2j}\right]=\frac{-a\partial}{\omega_{0}}\left[ \frac{ e^{(-\partial +j\omega_{0})t}-e^{(-\partial -j\omega_{0})t} }{2j}\right] +\\ + a\left [ \frac{e^{(-\partial +j\omega_{0})t}+e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}{2}}\right] = \frac{-a\partial }{\omega_{0}}\sin(\Omega t) + a\cos(\Omega t).}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2018, o 10:35 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.

Lazor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r

Post autor: Lazor » 29 paź 2018, o 10:33

Chyba jeszcze trzeba wyciągnąć z wykładnika eksponenty \(\displaystyle{ \partial}\) aby zastosować wzory Eulera?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5044
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1107 razy

Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r

Post autor: janusz47 » 29 paź 2018, o 10:47

Nie trzeba.

\(\displaystyle{ \cos (z) = \frac{e^{iz} +e^{-iz}}{2}, \ \ \sin (z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2018, o 11:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Lazor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r

Post autor: Lazor » 29 paź 2018, o 11:00

\(\displaystyle{ e^{(-\partial -j\omega_{0})t}}}\) nie jest równe \(\displaystyle{ e^{-iz}}}\)

Trzeba wyciągnąć \(\displaystyle{ e ^{-\partial t} e^{-j\omega_{0}t}}}\) wtedy \(\displaystyle{ e^{-j\omega_{0}t}}\) = \(\displaystyle{ e^{-iz}}}\)

Przynajmniej takie było rozwiązanie gdy miałem rozwiązanie równania kwadratowego z pierwiastkami rzeczywistymi.
Tak czy siak, dzięki za pokazanie jak to ruszyć dalej.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5044
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1107 razy

Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 rzędu

Post autor: janusz47 » 29 paź 2018, o 11:48

Zgadzam się z Tobą, że w wykładnikach potęgi powinny występować liczby zespolone przeciwne, a nie sprzężone. Wyłącz exponent z częścią rzeczywistą przed nawias.

Gdybyś chciał zapoznać się dokładnie z rozwiązaniami układu RLC metodą rachunku operatorowego Laplace'a zachęcam do jednego z podręczników:

Kazimierz Mikołajuk. Zdzisław Trzaska ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA. Analiza i synteza elektrycznych obwodów liniowych. PWN Warszawa 1984.

Zdisław Klonowicz. Zdzisław Zubrzycki Teoria Obwodów Tom I PWN wARSZAWA 1983.

Maciej Krakowski. ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA .Tom I. Obwody liniowe i nieliniowe. PWN Warszawa 1981.

Lazor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 28 paź 2018, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

Re: Odwrotna transformata Laplace'a równanie różniczkowe 2 r

Post autor: Lazor » 29 paź 2018, o 12:23

Dziękuję za pozycję, chętnie je nabędę by poszerzyć swoją wiedzę.

ODPOWIEDZ