Wyznacz trajektorię równania różniczkowego
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x'=y\\y'=-x \end{array}}\)
trajektoria równania
-
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 30 cze 2013, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 1 raz
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: trajektoria równania
Z pierwszego równania wynika że \(\displaystyle{ x''=y'}\) podstawiając to do drugiego równania mamy
\(\displaystyle{ x''=-x}\)
To łatwo rozwiązać jako że jest to równanie 2 stopnia o stałych współczynnikach postaci:
\(\displaystyle{ x''+x=0}\)
Po zastosowaniu procedury na rozwiązanie z wielomianem charakterystycznym tego równania mamy:
\(\displaystyle{ x=C_1\cos t+C_2\sin t}\)
Teraz już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) jako że \(\displaystyle{ y=x'=\left( C_1\cos t+C_2\sin t\right)'}\)
\(\displaystyle{ x''=-x}\)
To łatwo rozwiązać jako że jest to równanie 2 stopnia o stałych współczynnikach postaci:
\(\displaystyle{ x''+x=0}\)
Po zastosowaniu procedury na rozwiązanie z wielomianem charakterystycznym tego równania mamy:
\(\displaystyle{ x=C_1\cos t+C_2\sin t}\)
Teraz już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) jako że \(\displaystyle{ y=x'=\left( C_1\cos t+C_2\sin t\right)'}\)