Matematyka.pl

Witam, chciałbym się zapytać czy dobrze rozumiem pytanie, polecenie wygląda następująco :

W całce \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{x^2+y^2} } \mbox{d}x \mbox{d}y}\) zmienić współrzędne na biegunowe.

W tej sytuacji po zmianie : \(\displaystyle{ x=r\sin \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ y=r\cos \alpha}\) i podstawieniu pod wzór początkowy tak na prawdę nic się nie zmienia, jak to ugryźć ?

Pozdrawiam.

Jak podniesiesz sobie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) do kwadratu i wyciągniesz \(\displaystyle{ r^2}\) przed nawias to z jedynki trygonometrycznej zostanie Ci samo \(\displaystyle{ r^2}\) pod pierwiastkiem. Ale \(\displaystyle{ r>0}\) oczywiście i wychodzi Ci całka podwójna z \(\displaystyle{ \frac{1}{r}}\), ale (tutaj nie jest pewien) musisz pomnożyć jeszcze razy Jacobian równy \(\displaystyle{ r}\). Masz całkę podwójną \(\displaystyle{ \frac{1}{r} \cdot r}\) i wychodzi całka podwójna z \(\displaystyle{ 1}\). Z tym Jacobianem sobie sprawdź, bo nie jestem na 100% pewien. Jeśli bez niego to całka podwójna z \(\displaystyle{ \frac{1}{r} dr d\alpha}\)

edit.
Przy zamianie zmiennych stosuje się Jacobian, więc opcja pierwsza jest poprawna