Matematyka.pl

Witam, mam problem z ułożeniem równania do tego zadania:

Na skutek awarii w zamkniętym pomieszczeniu zaczął ulatniać się gaz z prędkością \(\displaystyle{ 2l /min}\). Powstała mieszanina z tą samą prędkością wydostawała się na zewnątrz. Wiedząc, że objętość pomieszczenia to \(\displaystyle{ 50 m^{3}}\) oblicz po jakim czasie stężenie gazu osiągnie 5%.

Z góry dziękuję za pomoc

W bardzo krótkim fragmencie czasu \(\displaystyle{ \Delta t}\) stężenie wzrasta o \(\displaystyle{ k\Delta t}\) (jest to ulatniający się gaz). Zakładając nieskończenie szybkie mieszanie się gazu, spadek stężenia wynosi \(\displaystyle{ k\cdot y(t) \Delta t}\) gdzie \(\displaystyle{ y(t)}\) jest funkcją określającą stężenie gazu liczbą od 0 do 1. Czyli \(\displaystyle{ \Delta y=k\Delta t\bigl(1-y(t)\bigr)}\), przechodząc do nieskończenie krótkich odcinków czasu \(\displaystyle{ \text dt}\) otrzymujemy równanie różniczkowe \(\displaystyle{ \frac{\text dy}{\text dt}=k\bigl(1-y(t)\bigr)}\), takie równanie jest łatwe do rozwiązania. Warunek początkowy to \(\displaystyle{ y(0)=0}\), należy sprawdzić kiedy \(\displaystyle{ y(t)=0.05}\)