Równania różniczkowe niejednorodne - 2 przykłady

[kieubass]

Mam problem z dwoma przykładami:

a) \(\displaystyle{ y' + \frac{7}{x} \cdot y = 2x}\)

b) \(\displaystyle{ y'' - 9y' = x+1}\)

Zerkałem w algorytm na stronie PWJSTK, musi na kolokwium być to zrobione krok po kroku, gotowe wzory odpadają. W pierwszym przykładzie niestety wyrażenia z uzmiennioną stałą się nie skracają, tak jak zazwyczaj się dzieje, więc nie wiem co zrobić dalej...

Bardzo proszę o pomoc, algorytm, naprowadzenie, cokolwiek

[Premislav]

a) Podstaw \(\displaystyle{ y=xu(x)}\), a otrzymasz:
\(\displaystyle{ 8u+xu'=2x}\)
Rozwiązaniem równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ 8u+xu'=0}\)
jest, jak łatwo się przekonać, \(\displaystyle{ u(x)=frac{C}{x^8}}\).
Teraz równanie \(\displaystyle{ 8u+xu'=2x}\) rozwiązujemy, uzmienniając stałą.
\(\displaystyle{ C:=C(x)}\) i wstawiamy do naszego równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ 8frac{C(x)}{x^8}+xleft( frac{-8C(x)}{x^9}+frac{C'(x)}{x^8}
ight) =2x\C'(x)=2x^8\ C(x)=frac 2 9 x^9+D, D}\)
to jest dowolna stała.
Zatem
\(\displaystyle{ u(x)=ldots \ y(x)=xu(x)=ldots}\)
Mogłem się pomylić w jakichś szczegółach obliczeniowych, bo za często całkuję przez zgadywanie, ale taka jest idea.

b) To szybciej wyjdzie metodą przewidywań, nie chce mi się tego klepać metodą uzmienniania stałej.
O metodzie przewidywań masz tutaj:
140782.htm
306635.htm

-- 24 sie 2018, o 12:24 --

Chociaż w przykładzie b) nie zauważyłem, że tam jest tylko \(\displaystyle{ y''}\) i \(\displaystyle{ y'}\), nie ma \(\displaystyle{ y}\), więc podstawiasz \(\displaystyle{ u=y'}\) i masz równanie liniowe niejednorodne pierwszego stopnia, a to też łatwo pójdzie metodą uzmienniania stałej. Przy równaniach liniowych niejednorodnych drugiego stopnia jeśli się da, to chyba lepiej rozwiązywać metodą przewidywań, ponieważ metoda uzmienniania stałej w tym wypadku wymaga rozważania wrońskianu, jak pamiętam (chyba że ktoś ma wryte na blaszkę pewne wzory). Czasami produkuje to nie za łatwe obliczenia.

[kerajs]

a) \(\displaystyle{ y' + \frac{7}{x} \cdot y = 2x}\)

W pierwszym przykładzie niestety wyrażenia z uzmiennioną stałą się nie skracają, tak jak zazwyczaj się dzieje, więc nie wiem co zrobić dalej...

\(\displaystyle{ RJ:\\
y'= \frac{-7y}{x}\\
\ln y=-7\ln x +C\\
y= \frac{C}{x^7} \Rightarrow y'= \frac{C' \cdot x^7-C \cdot 7x^6}{x^{14}} \\
\\
RNJ:\\
\frac{C'x^7-7Cx^6}{x^{14}}+ \frac{7}{x} \frac{C}{x^7}=2x\\
C'=2x^8\\
C= \frac{2}{9} x^9+K\\
y=\frac{\frac{2}{9} x^9+K}{x^7}\\
y= \frac{K}{x^7}+\frac{2}{9} x^2}\)

[kieubass]

\(\displaystyle{ \ln y=-7\ln x +C\\
y= \frac{C}{x^7} \Rightarrow y'= \frac{C' \cdot x^7-C \cdot 7x^6}{x^{14}} \\}\)

A przepraszam, skąd wzięło się tutaj to \(\displaystyle{ y= \frac{C}{x^7}}\)?
Bo ogólnie wszystko spoko, ale nie rozumiem tego przejścia

[Jarek753]

To jest wykorzystanie własności logarytmów:
\(\displaystyle{ \log_a(b)+\log_a(c)=\log_a(b\cdot c)}\)
\(\displaystyle{ y \log_a(x)=\log_a(x^y)}\) oraz
\(\displaystyle{ a^{\log_a(x)}=x}\)
W powyższym rozwiązaniu w

\(\displaystyle{ \ln y=-7\ln x+C}\)

C potraktowano jako \(\displaystyle{ C=\ln C_1}\) więc formalnie \(\displaystyle{ y=\frac{C_1}{x^7}}\), ale to nie ma większego znaczenia, ponieważ C można wybrać dowolnie, więc zwykle nikt się takim "utożsamianiem" nie przejmuje.