Matematyka.pl

Witajcie,
Mam do rozwiązania taki przykład:
\(\displaystyle{ y'''+y''+y'+y=\sin 2x}\)

Skończyłem pierwszy etap, otrzymałem:
\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{ix}+C_{3}e^{-ix}}\)

Dalej kompletnie nie wiem co zrobić, było to prawdopodobnie na nieobowiązkowych zajęciach na których mnie nie było. Na egzaminie oczywiście takie zadanie będzie. Jakby jakaś dobra dusza podrzuciła mi jaką metodą to zrobić i pokrótce wytłumaczyła to stawiam piwo.

Piwo piwu nierówne. Ja zamiast programowania czy języków obcych uczyłem się tej zafajdanej matematyki i teraz taki efekt, że mam w lodówce piwo za 2,50, ale za to potrafię się mądrzyć (kiepsko).

Myślę, że przyjemniej się liczy, jak masz to zapisane w postaci rzeczywistej, tj. rozwiązanie równania jednorodnego postaci
\(\displaystyle{ y_j=C_1 e^{-x}+C_2 cos x+C_3sin x}\)
(to nie są te same stałe \(\displaystyle{ C_2, C_3}\) co u Ciebie). A dochodzi się do tego dzięki zauważeniu, że
\(\displaystyle{ cos x=frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, sin x=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\)

Dalej można się posłużyć metodą przewidywań:
306635.htm

Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania niejednego postaci
\(\displaystyle{ asin(2x)+bcos(2x)}\)
Wstawiamy to do równania
\(\displaystyle{ y'''+y''+y'+y=sin 2x}\):
i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (-6a-3b)cos(2x)+ (6b-3a)sin(2x)=sin 2x}\)
a stąd bierze się układ równań:
\(\displaystyle{ egin{cases} -6a-3b=0 \ 6b-3a=1 end{cases}}\)
Stąd dostajemy
\(\displaystyle{ a=-frac{1}{15}, b=frac{2}{15}}\)

Czyli rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego wygląda tak:
\(\displaystyle{ y=C_1e^{-x}+C_2 sin x+C_3cos x-frac 1 {15}sin(2x)+frac{2}{15}cos(2x)}\)

Dziękuję bardzo! Za takie rozpisanie i podlinkowanie przykładów nawet kraftowe piwo z maleńkiego browaru w odległych krainach Warmii i Mazur to mało!