Równanie drugiego rzędu
: 9 cze 2018, o 23:21
\(\displaystyle{ \left( \frac{d}{dx} \left[ \left( 2+x \right) ^{2} \cdot y' \right] \right) + y = 0}\)
Policzył bym pochodną najpierw
\(\displaystyle{ (x+2)^2y''+2(x+2)y'+y=0}\)
Jeśli podstawimy nową zmianą \(\displaystyle{ x+2=e^t}\) to powinniśmy dostać równanie o stałych współczynnikach. Bo
\(\displaystyle{ (x+2) \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }=e^t \cdot \frac{ \mbox{d}y }{e^t \mbox{d}t}= \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ (x+2)^2 \frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2 }= \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}-\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}}\)
Co po podstawianiu daje
\(\displaystyle{ y''+y'+y=0}\)
przy czym zmianą niezależną jest tu \(\displaystyle{ t}\). Takie równanie już można rozwiązań znanymi metodami co daje:
\(\displaystyle{ y(t)=C_1e^{- \frac{t}{2} }\sin\left( \frac{ \sqrt{3}t}{2} \right)+C_2e^{- \frac{t}{2} }\cos\left( \frac{ \sqrt{3}t}{2} \right)}\)
a więc wracając do mniemanej \(\displaystyle{ x}\) można zapisać że rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ y(x)=C_1 \frac{\sin\left( \frac{ \sqrt{3}\ln \left( x+2\right) }{2} \right)}{ \sqrt{x+2} }+C_2 \frac{\cos\left( \frac{ \sqrt{3}\ln \left( x+2\right) }{2} \right)}{ \sqrt{x+2} }}\)