Równania różniczkowe typu F(y,y'')

[kox944]

Witam, mam dokładnie takie równanie :

\(\displaystyle{ y''+4y=x\sin 2x}\)

Więc zaczynam od :

\(\displaystyle{ y''+4y=0}\)

Z czego wychodzi, że :
\(\displaystyle{ r^{2} +4 = 0 \\
r_{1} = 2i \vee r_{2} = -2i\\
\alpha = 0 , \beta = 2}\)

RORJ : \(\displaystyle{ y= C_{1}\cos 2x + C_{2}\sin 2x}\)

Nie jestem pewien czy da się użyć tutaj metody przewidywania, ale jeżeli tak to czy rozwiązanie szczególne powinno być postaci :

\(\displaystyle{ y_{s} = Ax \cdot B\sin 2x}\)

[szw1710]

\(\displaystyle{ y_s=(Ax+B)\cos 2x+(Cx+D)\sin 2x.}\)

[kerajs]

Raczej:
\(\displaystyle{ y_s=(Ax^2+Bx)\cos 2x+(Cx^2+Dx)\sin 2x.}\)

[kox944]

Raczej:
\(\displaystyle{ y_s=(Ax^2+Bx)\cos 2x+(Cx^2+Dx)\sin 2x.}\)

\(\displaystyle{ (Ax^2+Bx)}\) - Czy mógłbyś napisać po czym poznać kiedy jest akurat taka forma ?

[kerajs]

Wyłącznie ze względu na prawą stronę równania, przewidywanie jest takie jak podał prof. szw1710.

Jednak na przewidywanie może wpłynąć rozwiązanie równania jednorodnego, o ile w całce ogólnej tego równania wystąpi fragment który dubluje część pierwotnie przewidywanej całki szczególnej.

Wtedy to, co przewidujemy, należy wzmocnić przez pomnożenie przez x do takiej najmniejszej naturalnej potęgi, aby żaden fragment całki ogólnej nie powielał się z fragmentem przewidywanej całki szczególnej. (Tu wystarczyło \(\displaystyle{ x^1}\))

[szw1710]

Raczej:
\(\displaystyle{ y_s=(Ax^2+Bx)\cos 2x+(Cx^2+Dx)\sin 2x.}\)

Masz rację, bo tzw. stała kontrolna \(\displaystyle{ 2i}\) jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.