Rozwiąż równanie różniczkowe

[xiko]

Witam, jak rozwiązać poniższe zadanie różniczkowe?
\(\displaystyle{ y' =xe^{y}}\)
Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać, nic mi nie przychodzi do głowy. Jedynie miałem pomysł aby podzielić całość przez \(\displaystyle{ e^{y}}\). Tylko czy to w ogóle by było dobrze?

[Premislav]

Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać, nic mi nie przychodzi do głowy. Jedynie miałem pomysł aby podzielić całość przez \(\displaystyle{ e^{y}}\). Tylko czy to w ogóle by było dobrze?

Jak najbardziej. To właśnie należy zrobić. Po scałkowaniu to daje Ci:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{-y}\,\dd y= \int_{}^{} x\,\dd x}\)
czyli
\(\displaystyle{ -e^{-y}=\frac{x^2}{2}+C}\)
a stąd
\(\displaystyle{ y=-\ln\left| -\frac{x^2}{2}-C\right|}\)

[xiko]

Ok, dziękuję, a co zrobić z takim równaniem :
\(\displaystyle{ y' + \frac{y}{x} = 1 + \frac{2}{x}}\)
Myślałem aby lewą stronę przyrównać do zera i przenieść \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\)na prawą stornę, później podzielić przez y, dałoby mi to
\(\displaystyle{ \frac{y'}{y} = - \frac{1}{x}}\) .
Z tego wyliczyć całkę, ale co dalej?

[Premislav]

Myślałem aby lewą stronę przyrównać do zera

A to na jakiej podstawie?

Zacząłbym od pomnożenia przez \(\displaystyle{ x}\), co daje:
\(\displaystyle{ xy'+y=x+2}\)
i teraz zauważ, że po lewej stronie masz pochodną iloczynu:
\(\displaystyle{ (xy)'}\)
Po scałkowaniu:
\(\displaystyle{ xy=\frac{x^2}{2}+2x+C\\ y=\frac x 2+2+\frac{C}{x}}\)

[xiko]

Myślałem aby lewą stronę przyrównać do zera

A to na jakiej podstawie?

Myślałem aby to zrobić metodą uzmienniania stałej, stąd pomysł na przyrównanie do 0.

[Premislav]

A w sumie można, zapomniałem o tej metodzie.
Rozwiązanie jednorodnego jest postaci \(\displaystyle{ y_j=\frac{C}{x}}\),
potem metodą uzmienniania stałej dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{C'(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^2}+ \frac{C(x)}{x^2} =1+\frac 2 x}\)
czyli \(\displaystyle{ C'(x)=x+2}\)
a więc
\(\displaystyle{ C(x)=\frac{x^2}{2}+2x+D}\)
i
\(\displaystyle{ y=\frac{C(x)}{x}=\frac x 2+2+\frac D x}\)
użyłem oznaczenia \(\displaystyle{ D}\) na stałą, aby nie popadać w konflikt oznaczeń.

[xiko]

Czyli jednak dobrze myślałem, dziękuję!