Dwa równania różniczkowe cząstkowe

[Sh3aker]

Witam serdecznie.
Mam następujące zadanie z którym nie mogę sobie poradzić:
\(\displaystyle{ y\frac{dU}{dx}+x\frac{dU}{dy}=0}\)
(Treść to chyba znaleźć rozwiązanie ogólne równania.)
Podstawiam:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=r\cos (\varphi)\\y=r\sin (\varphi)\\r=\sqrt{x^2+y^2}\\\varphi=\arctan (\frac{y}{x}) \end{array}}\)

Pochodne \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\) po \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\):

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{dr}{dx}=\cos (\varphi)\\\frac{dr}{dy}=\sin (\varphi)\\\frac{d\varphi}{dx}=\frac{\sin (\varphi)}{r}\\\frac{d\varphi}{dy}=\frac{\cos (\varphi)}{r} \end{array}}\)
Podstawiam za x i za y oraz zapisuję pochodną cząstkową U po x i po y:
\(\displaystyle{ y\frac{dU}{dx}+x\frac{dU}{dy}=r\sin (\varphi)(\frac{dU}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dx}+\frac{dU}{dr}\frac{dr}{dx})+r\cos (\varphi)(\frac{dU}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dy}+\frac{dU}{dr}\frac{dr}{dy})}\)

Po zgrupowaniu i wyeliminowaniu jedynki trygonometrycznej otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{dU}{d\varphi}+2r\sin (\varphi)\cos (\varphi)\frac{dU}{dr}=0}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{dU}{d\varphi}+r\sin (2\varphi)\frac{dU}{dr}=0}\)

I tak na prawdę nie wiem co dalej, bo nie widzę, żebym sprowadził to zadanie do prostszego przypadku.
Cóż innego można zrobić?


Drugie zadanie:
\(\displaystyle{ \frac{d^2U}{dx^2}-\frac{1}{4}\frac{d^2U}{dt^2}=0}\)

Zakładam:
\(\displaystyle{ U(x;t) = U_{1}(x)U_{2}(t)}\)

Liczę drugie pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{d^2U}{dx^2}=U_{2}\frac{d^2U_{1}}{dx^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^2U}{dt^2}=U_{1}\frac{d^2U_{2}}{dt^2}}\)

I podstawiam do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ U_{2}\frac{d^2U_{1}}{dx^2}-\frac{1}{4}U_{1}\frac{d^2U_{2}}{dt^2}=0}\)

Grupuję stronami (dzielę przez \(\displaystyle{ U_1U_2}\)) i ponieważ każda ze stron zależy od innej zmiennej to muszą obie być równe stałej. Np \(\displaystyle{ -\lambda}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{U_{1}}\frac{d^2U_{1}}{dx^2}=\frac{1}{4}\frac{1}{U_{2}}\frac{d^2U_{2}}{dt^2}=-\lambda}\)

Otrzymuję więc dwa niezależne równania:
\(\displaystyle{ \frac{d^2U_1}{dx^2}=-\lambda U_1}\)

\(\displaystyle{ \frac{d^2U_2}{dt^2}=-4\lambda U_1}\)

Rozwiązuję je podstawiając \(\displaystyle{ U_1}\) lub \(\displaystyle{ U_2 = e^r^t}\) i otrzymuję:

\(\displaystyle{ U_1=C_1\sin (\sqrt{\lambda}t)+C_2\cos (\sqrt{\lambda}t)}\)

\(\displaystyle{ U_2=C_3\sin (2\sqrt{\lambda}t)+C_4\cos (2\sqrt{\lambda}t)}\)

I tutaj moje notatki są niejednoznacznie. Nie wiem co dalej z tym zrobić.

Jakby ktoś bym uprzejmy poradzić coś na te dwa przypadki to będę bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam serdecznie.
Oskar