Matematyka.pl

Witam,
Zamieszczam fragment notatek z którymi mam problem:
Najpierw pojawia się wprowadzenie:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+p\left( x\right) y=r\left( x\right)}\)
Czynnik całkujący \(\displaystyle{ G\left( x\right)=e^{ \int p\left( x\right) dx }}\)

po czym pojawia się przykład:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+3y=e^{-3x}}\)

\(\displaystyle{ G\left( x\right)=e^{ \int 3 dx}=e^{3x}}\)

\(\displaystyle{ e^{3x} \cdot \frac{dy}{dx} + 3 \cdot e^{3x} \cdot y=e^{-3x} \cdot e^{3x}}\)

W powyższej linijce lewa strona została oznaczona jako:

G y` G` y

po czym pojawia się zapis:

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left( e^{3x} \cdot y\right)=e^{-3x+3x}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{d}{dx}\left( e^{3x \cdot y\right)dx=\int 1 dx}\)
\(\displaystyle{ e^{3x \cdot y}=x+C}\)
no i wyznaczony \(\displaystyle{ y}\).

Rozumiem że wyjściowe równanie zostało pomnożone stronami przez \(\displaystyle{ e^{3x}}\) ale schody pojawiają się w następnej linijce (gdy pojawia się oznaczenie z G, G, y, y`). Skąd bierze się ta lewa strona?

Tu, przez pomnożenie przez czynnik całkujący, lewą stronę doprowadzasz do pochodnej iloczynu:
\(\displaystyle{ (g(x) \cdot y)'_x=g'(x)y+g(x)y'_x}\)

Równanie liniowe można także rozwiązywać przez uzmiennianie stałej.

jaaaaaaaaaaaaa.....czyli w oznaczeniu zabrakło mi "\(\displaystyle{ +}\)" żeby było wszystko jasne
Dziękuję
Jeszcze tylko jedno pytanie:
Co oznacza
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\)
czy to onacza po protu:
\(\displaystyle{ f'(x)}\)?

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}(y)= \frac{d}{dx}y= \frac{ \partial y}{ \partial x}=y'(x)=y'_x =\dot{y}(x)}\)
Pierwsze cztery to pochodna w notacji Leibniza, kolejne w notacji Lagrange'a, ostatnia wg Newtona.
Oczywiście za y oraz x możesz wstawić inne literki (oprócz litery d w trzech pierwszych formach), lub całe wyrażenia (zamiast y).