Różniczka zupełna czynnikiem całkowym
: 20 maja 2018, o 23:48
Witam,
\(\displaystyle{ N \mbox{d}x +M \mbox{d}y=(x^2y^3+y) \mbox{d}x +(x^3y^2-x) \mbox{d}y=0}\)
\(\displaystyle{ N_y=3y^2x^2+1}\),\(\displaystyle{ M_x=3y^2x^2-1}\)
\(\displaystyle{ N_y-M_x=2 \neq 0}\)
Szukam czynnika całkowego postaci \(\displaystyle{ \mu(\sqrt{xy})}\)
\(\displaystyle{ \mu_x=\frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}\mu'}\),\(\displaystyle{ \mu_y=\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}\mu'}\)
Teraz wymnazam róœnanie wyjściowe przez czynnik i różniczkuje
\(\displaystyle{ \mu(N_y-M_x)=2\mu=\mu_xM-\mu_yN=\mu' \frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}M-\mu'\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}N=\break= \mu'\frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}(x^3y^2-x) -\mu'\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}(x^2y^3+y)=\mu'\frac{1}{2}((xy)^{\frac{5}{2}}-\sqrt{xy})-\mu'\frac{1}{2}((xy)^{\frac{5}{2}}+\sqrt{xy})=\break =-\mu'\sqrt{xy}}\)
Mamy równanie
\(\displaystyle{ 2\mu=-\mu'\sqrt{xy}}\),niech \(\displaystyle{ t=\sqrt{xy}}\). Wtedy rownanie ma postac (\(\displaystyle{ \mu}\) jest funkcja zmiennej \(\displaystyle{ t=\sqrt{xy}}\))
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\mu }{\mu}= \frac{-2 \mbox{d}t }{t}}\) którego rozwiązaniem jest np
\(\displaystyle{ \mu(t)=t^{-2}}\)
Zatem czynnik calkujacy to \(\displaystyle{ \mu(x,y)= \frac{1}{xy}}\)
Ale niestety,
\(\displaystyle{ (\mu N)_y=\left( \frac{x^2y^2+1}{x}\right)_y \neq \left( \mu M\right)_x=\left( \frac{x^3y^2-x}{xy} \right)_x =\left( \frac{x^2y^2-1}{y} \right)_x}\)
co widac od razu
Co poszło nie tak?
\(\displaystyle{ N \mbox{d}x +M \mbox{d}y=(x^2y^3+y) \mbox{d}x +(x^3y^2-x) \mbox{d}y=0}\)
\(\displaystyle{ N_y=3y^2x^2+1}\),\(\displaystyle{ M_x=3y^2x^2-1}\)
\(\displaystyle{ N_y-M_x=2 \neq 0}\)
Szukam czynnika całkowego postaci \(\displaystyle{ \mu(\sqrt{xy})}\)
\(\displaystyle{ \mu_x=\frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}\mu'}\),\(\displaystyle{ \mu_y=\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}\mu'}\)
Teraz wymnazam róœnanie wyjściowe przez czynnik i różniczkuje
\(\displaystyle{ \mu(N_y-M_x)=2\mu=\mu_xM-\mu_yN=\mu' \frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}M-\mu'\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}N=\break= \mu'\frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}(x^3y^2-x) -\mu'\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}(x^2y^3+y)=\mu'\frac{1}{2}((xy)^{\frac{5}{2}}-\sqrt{xy})-\mu'\frac{1}{2}((xy)^{\frac{5}{2}}+\sqrt{xy})=\break =-\mu'\sqrt{xy}}\)
Mamy równanie
\(\displaystyle{ 2\mu=-\mu'\sqrt{xy}}\),niech \(\displaystyle{ t=\sqrt{xy}}\). Wtedy rownanie ma postac (\(\displaystyle{ \mu}\) jest funkcja zmiennej \(\displaystyle{ t=\sqrt{xy}}\))
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}\mu }{\mu}= \frac{-2 \mbox{d}t }{t}}\) którego rozwiązaniem jest np
\(\displaystyle{ \mu(t)=t^{-2}}\)
Zatem czynnik calkujacy to \(\displaystyle{ \mu(x,y)= \frac{1}{xy}}\)
Ale niestety,
\(\displaystyle{ (\mu N)_y=\left( \frac{x^2y^2+1}{x}\right)_y \neq \left( \mu M\right)_x=\left( \frac{x^3y^2-x}{xy} \right)_x =\left( \frac{x^2y^2-1}{y} \right)_x}\)
co widac od razu
Co poszło nie tak?