Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych
: 19 maja 2018, o 15:40
Mam takie zadanie:
Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych następującego zagadnienia:
\(\displaystyle{ u _{t} = u_{y}, u(0,y) = e ^{y} + e^{-2y}}\)
No to szukam rozwiązania postaci:
\(\displaystyle{ u(t,y) = T(t) \cdot Y(y)}\)
Podstawiając do równania początkowego dostaję:
\(\displaystyle{ T'(t) \cdot Y(y) = T(t) \cdot Y'(y)}\)
No i mam że:
\(\displaystyle{ \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{Y'(y)}{Y(y)}}\)
Więc to musi być równe jakiejś stałej \(\displaystyle{ - \lambda}\) i otrzymuję równania:
\(\displaystyle{ Y'(y) + \lambda Y(y) = 0, T'(t) + \lambda T(t)=0}\)
Więc jak sobie oba rozwiąże to wychodzi:
\(\displaystyle{ T(t) = c_{1} \cdot e^{- \lambda t}, Y(y) = c_{2} \cdot e^{- \lambda y}}\)
I w tym momencie nie wiem co zrobić, proszę o pomoc.
Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych następującego zagadnienia:
\(\displaystyle{ u _{t} = u_{y}, u(0,y) = e ^{y} + e^{-2y}}\)
No to szukam rozwiązania postaci:
\(\displaystyle{ u(t,y) = T(t) \cdot Y(y)}\)
Podstawiając do równania początkowego dostaję:
\(\displaystyle{ T'(t) \cdot Y(y) = T(t) \cdot Y'(y)}\)
No i mam że:
\(\displaystyle{ \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{Y'(y)}{Y(y)}}\)
Więc to musi być równe jakiejś stałej \(\displaystyle{ - \lambda}\) i otrzymuję równania:
\(\displaystyle{ Y'(y) + \lambda Y(y) = 0, T'(t) + \lambda T(t)=0}\)
Więc jak sobie oba rozwiąże to wychodzi:
\(\displaystyle{ T(t) = c_{1} \cdot e^{- \lambda t}, Y(y) = c_{2} \cdot e^{- \lambda y}}\)
I w tym momencie nie wiem co zrobić, proszę o pomoc.