Matematyka.pl

Witam
Zwracam się z uprzejmą prośbą o wyprowadzenie poniższego podstawienia trygonometrycznego (\(\displaystyle{ \cos x}\) do potęgi nieparzystej).

Do obliczania całki \(\displaystyle{ \int \sin x\cos x\mbox{d}x}\) , gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych stosujemy, w zależności od warunków jakie spełnia funkcja \(\displaystyle{ R}\), następujące podstawienia. Oznaczmy \(\displaystyle{ u=\sin x,v=\cos x}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ R(u,v)=-R(u,-v)}\) (tzn. funkcja \(\displaystyle{ \cos x}\) jest w potędze nieparzystej), to
\(\displaystyle{ t= \sin x \\
\mbox{d}x =\frac{dt}{ \sqrt{1- t^{2} } } \\
\cos x= \sqrt{1-t ^{2}}}\)

Z góry dziękuje za pomoc.
Pozdrawiam.

ArkhamKnight pisze:Zwracam się z uprzejmą prośbą o wyprowadzenie poniższego podstawienia trygonometrycznego ( \(\displaystyle{ \cos x}\) do potęgi nieparzystej).

Do obliczania całki \(\displaystyle{ \int \sin x\cos x\mbox{d}x}\) , gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych stosujemy,

Ale gdzie Ty tu masz jakąś funkcję wymierną i potęgę nieparzystą?

JK

Źle mnie zrozumiałeś chodzi mi o ogólne wyprowadzenie tego twierdzenia w celu zastosowania go w danych przykładach np \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos x ^{3} \sqrt{\sin x} \mbox{d}x}\).

ArkhamKnight pisze:Źle mnie zrozumiałeś

To Ty źle sformułowałeś. Trzeba było napisać o całce

\(\displaystyle{ \int R(\sin x,\cos^n x)\mbox{d}x}\)

gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste.

ArkhamKnight pisze: np \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos x ^{3} \sqrt{\sin x} \mbox{d}x}\).

Chyba raczej

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos ^{3}x \sqrt{\sin x} \mbox{d}x}\).

No i tutaj masz pierwiastek, więc to nie jest funkcja wymierna.

JK

No dobrze masz racje, czyli podstawienie akurat w tym danym przykładzie jest błędem?