Matematyka.pl

Witam.

Ćwicząc równania różniczkowe natknąłem się na takie zadanie w zbiorze:
Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa
czysta woda z prędkością 20 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 40 litrów na
minutę. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i
rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

Czy mógłby mnie ktoś naprowadzić jak tu ułożyć w ogóle równanie? Z góry dziękuję.

Objętość \(\displaystyle{ V}\) roztworu soli w zbiorniku w zależności od czasu \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ v(t) = 400 - ( 20 - 40) t = 400 -20t.}\)

\(\displaystyle{ x(t)}\)- ilość soli w chwili \(\displaystyle{ t.}\)

Szybkość zmian ilości soli:

\(\displaystyle{ x'(t) = 0 - \frac{x(t) \cdot 40 }{400 - 20 t}.}\)(1)

Przy warunku początkowym:

\(\displaystyle{ x(0) = 400\cdot 0,005 = 2.}\) (2)


Rozwiązanie problemu Cauchy (1),(2) :

\(\displaystyle{ \int \frac{x'(t)}{x(t)}dt = 2\int \frac{dt}{t-20}}\)

\(\displaystyle{ \ln[x(t)] = \ln(t-20)^2 + \ln(C)}\)

\(\displaystyle{ x(t) = C(t - 20)^2}\)

\(\displaystyle{ 2 = C(0 - 20)^2, \ \ C = \frac{2}{400}= \frac{1}{200}.}\)

\(\displaystyle{ x(t) = \frac{(t - 20)^2}{200}.}\)