Znaleźć wszystkie funkcje różniczkowalne.

[pawlo392]

Niech \(\displaystyle{ a>0}\). Znaleźć wszystkie funkcje różniczkowalne \(\displaystyle{ f:(0,a] \rightarrow \mathbb{R}}\) R o tej własności, że odcinek dowolnej prostej stycznej do wykresu takiej funkcji o końcach w punkcie styczności i na osi \(\displaystyle{ OY}\) ma długość \(\displaystyle{ a}\).
Pisząc równanie stycznej \(\displaystyle{ y-y_0=y_0'(x-x_0)}\) wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{x_0^2+(y_0-y)^2}=a}\). Co dalej? podejrzewam, że coś wyliczyć i wstawić.

[kerajs]

Pisząc równanie stycznej \(\displaystyle{ y-y_0=y_0'(x-x_0)}\) wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{x_0^2+(y_0-y)^2}=a}\). Co dalej? podejrzewam, że coś wyliczyć i wstawić.

Raczej:
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-x_0)^2+(y'(x_0)x_0+y_0-y_0)^2}=a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x_0^2+(y'(x_0) \cdot x_0)^2}=a}\)
Pozostaje wyliczyć pochodną i rozwiązać równanie różniczkowe (albo i dwa)