Równanie jednorodne drugiego rzędu - związek rozwiązań
: 5 mar 2018, o 22:30
Witam
Na zajęciach, a później w internecie dowiedziałem się że rozwiązanie równania drugiego stopnia jednorodnego o stałych współczynnikach jest postaci:
\(\displaystyle{ y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ y(t) = e^{rt}}\)
Wszędzie podane są gotowe wzory na rozwiązania w zależności od delty:
\(\displaystyle{ y = C _{1}e^{r_{1}t} + C _{2}e^{r_{2}t} \ dla \ \Delta > 0\\
y = C _{1}e^{rt} + C _{2}te^{rt} \ dla \ \Delta = 0\\
y = e^{at}(C_{1}\sin(bt) + C_{2}\cos(bt)) \ dla \ \Delta < 0}\)
Lecz o ile pierwsza zależność jest logiczna (ze względu na pierwszy wzór), to jak można dojść do ostatniej postaci (dla liczb zespolonych)?
Próbując podstawić pierwiastki równania w postaci urojonej tj.
\(\displaystyle{ r_{1} = a + bi\\
r_{2} = a - bi}\)
do pierwszego równania, otrzymuje równanie trzecie tylko przy założeniu że
\(\displaystyle{ A = C_{1} + C_{2} \\
B = i(C_{1} - C_{2})}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to nowe stałe przy \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\).
Natomiast na zajęciach, prowadzący uzyskał równanie trzecie z pierwszego, przy założeniu że
\(\displaystyle{ A = 2C_{1}\\
B = 2C_{2}}\)
co wydaje się być bardziej naturalne, lecz osiągalne jest tylko przy założeniu że przy \(\displaystyle{ e^{rt}}\) stoją sprzężone ze sobą stałe w postaci zespolonej (załączam fotografie)
\(\displaystyle{ r_{1} = a +bi\\
r_{2} = a - bi\\
x(t) = C_{1}e^{(a + bi)t} + C_{2}e^{(a - bi)t}\\
x(t) = (C_{1} + C_{2}i)e^{(a + bi)t} + (C_{1} - C_{2}i)e^{(a - bi)t}\\
x(t) = (C_{1} + C_{2}i)e^{at}e^{ibt} + (C_{1} - C_{2}i)e^{at}e^{-ibt}\\
x(t) = e^{at}((C_{1} + C_{2}i)e^{ibt} + (C_{1} - C_{2}i)e^{-ibt})\\
e^{+/-ix} = \cos x +/- i\sin x\\
x(t) = e^{at}(2C_{1}\cos bt - 2C_{2}\sin bt\\
x(t) = e^{at}(A\cos bt + B\sin bt)\\
x(t) = e^{at}C\sin (bt + F)}\)
Czy jest to poprawne? Zakładamy że stałe są dowolne, więc dlaczego mielibyśmy zakładać że są to sprzężone ze sobą liczby.
Dziękuję i pozdrawiam
Na zajęciach, a później w internecie dowiedziałem się że rozwiązanie równania drugiego stopnia jednorodnego o stałych współczynnikach jest postaci:
\(\displaystyle{ y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ y(t) = e^{rt}}\)
Wszędzie podane są gotowe wzory na rozwiązania w zależności od delty:
\(\displaystyle{ y = C _{1}e^{r_{1}t} + C _{2}e^{r_{2}t} \ dla \ \Delta > 0\\
y = C _{1}e^{rt} + C _{2}te^{rt} \ dla \ \Delta = 0\\
y = e^{at}(C_{1}\sin(bt) + C_{2}\cos(bt)) \ dla \ \Delta < 0}\)
Lecz o ile pierwsza zależność jest logiczna (ze względu na pierwszy wzór), to jak można dojść do ostatniej postaci (dla liczb zespolonych)?
Próbując podstawić pierwiastki równania w postaci urojonej tj.
\(\displaystyle{ r_{1} = a + bi\\
r_{2} = a - bi}\)
do pierwszego równania, otrzymuje równanie trzecie tylko przy założeniu że
\(\displaystyle{ A = C_{1} + C_{2} \\
B = i(C_{1} - C_{2})}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to nowe stałe przy \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\).
Natomiast na zajęciach, prowadzący uzyskał równanie trzecie z pierwszego, przy założeniu że
\(\displaystyle{ A = 2C_{1}\\
B = 2C_{2}}\)
co wydaje się być bardziej naturalne, lecz osiągalne jest tylko przy założeniu że przy \(\displaystyle{ e^{rt}}\) stoją sprzężone ze sobą stałe w postaci zespolonej (załączam fotografie)
\(\displaystyle{ r_{1} = a +bi\\
r_{2} = a - bi\\
x(t) = C_{1}e^{(a + bi)t} + C_{2}e^{(a - bi)t}\\
x(t) = (C_{1} + C_{2}i)e^{(a + bi)t} + (C_{1} - C_{2}i)e^{(a - bi)t}\\
x(t) = (C_{1} + C_{2}i)e^{at}e^{ibt} + (C_{1} - C_{2}i)e^{at}e^{-ibt}\\
x(t) = e^{at}((C_{1} + C_{2}i)e^{ibt} + (C_{1} - C_{2}i)e^{-ibt})\\
e^{+/-ix} = \cos x +/- i\sin x\\
x(t) = e^{at}(2C_{1}\cos bt - 2C_{2}\sin bt\\
x(t) = e^{at}(A\cos bt + B\sin bt)\\
x(t) = e^{at}C\sin (bt + F)}\)
Czy jest to poprawne? Zakładamy że stałe są dowolne, więc dlaczego mielibyśmy zakładać że są to sprzężone ze sobą liczby.
Dziękuję i pozdrawiam