Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania którego treść brzmi następująco:
Znajdź rozwiązanie szczególne jednorodnego, liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach jeżeli znane są jego wartości własne \(\displaystyle{ s_1,s_2,s_3}\) oraz warunki początkowe:
\(\displaystyle{ y(0)= x{_0}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=0}\) przy \(\displaystyle{ t=0}\),
\(\displaystyle{ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0}\) przy \(\displaystyle{ t=0}\).
Będę wdzięczny za każde sugestię na temat sposobu rozwiązania tego zadania
Równanie różniczkowe z wartościami własnymi
Równanie różniczkowe z wartościami własnymi
Ostatnio zmieniony 13 mar 2018, o 20:36 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Równanie różniczkowe z wartościami własnymi
Rozwiązanie ogólne tego równania jest więc postaci
\(\displaystyle{ x(t)=C_1 \cdot e^{s_1 t}+C_2\cdot e^{s_2 t}+C_3\cdot e^{s_3 t}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C_1, \ C_2, \ C_3}\) to stałe i wystarczy podstawić taką funkcję do warunków początkowych, co da nam układ trzech prostych równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ C_1, \ C_2, \ C_3}\).
Ewentualnie jeśli np. \(\displaystyle{ s_1=s_2}\), to trochę inaczej wygląda rozwiązanie ogólne, ale nie jestem pewien, czy należy rozważać i taką sytuację.
\(\displaystyle{ x(t)=C_1 \cdot e^{s_1 t}+C_2\cdot e^{s_2 t}+C_3\cdot e^{s_3 t}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C_1, \ C_2, \ C_3}\) to stałe i wystarczy podstawić taką funkcję do warunków początkowych, co da nam układ trzech prostych równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ C_1, \ C_2, \ C_3}\).
Ewentualnie jeśli np. \(\displaystyle{ s_1=s_2}\), to trochę inaczej wygląda rozwiązanie ogólne, ale nie jestem pewien, czy należy rozważać i taką sytuację.
Równanie różniczkowe z wartościami własnymi
równanie różniczkowe ma postać
\(\displaystyle{ a \cdot y'''+b \cdot y''+c \cdot y'+dy=0}\)
\(\displaystyle{ y(0)= x_{0}}\)
\(\displaystyle{ y'(0)=0}\)
\(\displaystyle{ y''(0)=0}\)
\(\displaystyle{ r_{1}= s_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{2}= s_{2}}\)
\(\displaystyle{ r_{3}= s_{3}}\)
\(\displaystyle{ a \cdot y'''+b \cdot y''+c \cdot y'+dy=0}\)
\(\displaystyle{ y(0)= x_{0}}\)
\(\displaystyle{ y'(0)=0}\)
\(\displaystyle{ y''(0)=0}\)
\(\displaystyle{ r_{1}= s_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{2}= s_{2}}\)
\(\displaystyle{ r_{3}= s_{3}}\)
Ostatnio zmieniony 13 mar 2018, o 20:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol pochodnej używaj bez indeksu górnego. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol pochodnej używaj bez indeksu górnego. Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: równanie różniczkowe z wartościami własnymi
Zakładamy, że \(\displaystyle{ s_{1}\neq s_{2}\neq s_{3}.}\)
Uwzględniając warunki początkowe, otrzymujemy układ równań na \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}, C_{3}.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}C_{1}+C_{2}+C_{3}= x_{0}\\
s_{1}C_{1}+s_{2}C_{2}+s_{3}C_{3} = 0 \\
s^2_{1}C_{1}+s^2_{2}C_{2} + s^2_{3}C_{3}=0 \end{cases}.}\)
Proszę wyznaczyć rozwiązanie układu stosując wzory Cramera i wstawić do rozwiązania ogólnego podanego przez Premislava.
Uwzględniając warunki początkowe, otrzymujemy układ równań na \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}, C_{3}.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}C_{1}+C_{2}+C_{3}= x_{0}\\
s_{1}C_{1}+s_{2}C_{2}+s_{3}C_{3} = 0 \\
s^2_{1}C_{1}+s^2_{2}C_{2} + s^2_{3}C_{3}=0 \end{cases}.}\)
Proszę wyznaczyć rozwiązanie układu stosując wzory Cramera i wstawić do rozwiązania ogólnego podanego przez Premislava.