Równanie różniczkowe
: 16 lut 2018, o 11:20
Wskaż zdanie prawdziwe :
Niech \(\displaystyle{ f: T \rightarrow \RR}\) gdy \(\displaystyle{ T \subset \RR^2}\) jest obustronnie otwartym i niech \(\displaystyle{ (t_0,x_0) \subsetT}\) . Które z następujących założeń wystarczy, aby równanie różniczkowe \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = f(x,t)}\) miało dokładnie jedno rozwiązanie przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ (t_0,x_0)}\) ?
a) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ T}\) i spełnia lokalny Lipschitza względem zmiennej \(\displaystyle{ x}\) ,
b) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ F}\) , \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}}\) istnieje i jest ciągła ,
c) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest nie ujemna w \(\displaystyle{ T}\) ,
d) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ F}\) .
Niech \(\displaystyle{ f: T \rightarrow \RR}\) gdy \(\displaystyle{ T \subset \RR^2}\) jest obustronnie otwartym i niech \(\displaystyle{ (t_0,x_0) \subsetT}\) . Które z następujących założeń wystarczy, aby równanie różniczkowe \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = f(x,t)}\) miało dokładnie jedno rozwiązanie przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ (t_0,x_0)}\) ?
a) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ T}\) i spełnia lokalny Lipschitza względem zmiennej \(\displaystyle{ x}\) ,
b) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ F}\) , \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}}\) istnieje i jest ciągła ,
c) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest nie ujemna w \(\displaystyle{ T}\) ,
d) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ F}\) .