Rozwiąż równanie

[fluffiq]

\(\displaystyle{ 4x^{2}y'' + 8y' + y = 0}\)

Ktoś ma pomysł jak to ruszyć?

[Premislav]

Ja nie pamiętam, jak się rozwiązuje coś takiego, ale przewidziałbym rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego.
Niech \(\displaystyle{ y(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \ x^n}\). Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y''(x)= \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\\ y'(x)= \sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}}\)
i po wstawieniu tego do równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^n+8 \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}+ \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n =0}\)

Stąd mamy: \(\displaystyle{ 8a_1+a_0=0, \ 16a_2+a_1=0}\) oraz
\(\displaystyle{ 4n(n-1)a_n+8(n+1)a_{n+1}+a_n=0}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\), a z tego ostatniego:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=- \frac{(2n-1)^2}{8(n+1)} a_n}\)
O ile się nie rąbnąłem w rachunkach, stąd można wyznaczyć \(\displaystyle{ a_n}\) w zależności od \(\displaystyle{ a_0}\), ale po pierwsze te współczynniki na pierwszy rzut oka niczego nie przypominają (w sensie rozwinięcia jakiejś sensownej funkcji w szereg Maclaurina), zaś po drugie to tylko rozwiązanie szczególne. Przestrzeń rozwiązań jest tu dwuwymiarowa, a to przewidywanie daje tylko jeden wymiar (chyba że się rąbnąłem w różniczkowaniu).

[marika331]

Rozwiązania poszukujemy w postaci:
\(\displaystyle{ y(x)= e^{sx}}\)
Obliczamy pochodne i wstawiamy do równania.

[Premislav]

Ta metoda jest dobra dla równań o stałych współczynnikach, ponieważ pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do rozwiązania równania algebraicznego. Tutaj to podejście nie zadziała, gdyż przeszkadza to \(\displaystyle{ 4x^2}\).

Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.

[marika331]

Racja - nie zauważyłam, że jest x

[Benny01]

Ta metoda jest dobra dla równań o stałych współczynnikach, ponieważ pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do rozwiązania równania algebraicznego. Tutaj to podejście nie zadziała, gdyż przeszkadza to \(\displaystyle{ 4x^2}\).

Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.

Mi pokazał "ładny" wynik.

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=4

... 27%2By%3D0

[Premislav]

O, to bardzo dziwne, bo tak samo wpisywałem.
No ale funkcje Bessela czy G-funkcja Meijera to trochę nie mój poziom.