Równanie różniczkowe metodą operatorową

[Philip]

Rozwiązuje równanie metodą operatorową i zaciąłem się w pewnym momencie. Nie posiadam warunków początkowych a muszę wyliczyć rozwiązane szczególne równania różniczkowego. Jak dalej to pociągnąć?
Z góry dzięki
\(\displaystyle{ $$\left\{\begin{array}{l} x'-x+y=e^t\\x'-y'+y=t\end{array}$$\\
$$\left\{\begin{array}{l} L_{11}x+L_{12}y=e^t\\L_{21}x+L_{22}y=t\end{array}$$\\
$L_{11}=D-1$\\
$L_{12}=D$\\
$L_{21}=D$\\
$L_{22}=-D+1$\\
$$\left\{\begin{array}{l} (D-1)x+Dy=e^t\\Dx+(-D+1)=t\end{array}$$\\
$\left|
\begin{array}{cc}
D-1 & D\\
D & -D+1\\
\end{array}
\right|x=
$
$\left|
\begin{array}{cc}
e^t & D\\
t & -D+1\\
\end{array}
\right|
$\\
\\
$\left|
\begin{array}{cc}
D-1 & D\\
D & -D+1\\
\end{array}
\right|y=
$
$\left|
\begin{array}{cc}
D-1 &e^t\\
D & t\\
\end{array}
\right|
$\\\\
$\left|
\begin{array}{cc}
D-1 & D\\
D & -D+1\\
\end{array}
\right|=-D^2+2D-1-D^2=-2D^2+2D-1
$\\\\
$\left|
\begin{array}{cc}
e^t & D\\
t & -D+1\\
\end{array}
\right|=-D(e^t)+e^t-D(t)=-1
$\\\\
$\left|
\begin{array}{cc}
D-1 & e^t\\
D & t\\
\end{array}
\right|=D(t)-t-D(e^t)=e^t-t+1
$\\\\
$(-2D^2+2D-1)x=-1$\\
$-2x''+2x'-x=-1$\\
$(-2D^2+2D-1)y=-e^t-t+1$\\
$-2y''+2y'-y=-e^t-t+1$\\
Równanie charakterystyczne równania jednorodnego będzie takie samo dla obu przypadków:
$-2\lambda^2+2\lambda-1=0$\\
$\Delta=4-8=-4$\\
$\sqrt{\Delta}=\sqrt{-4}=2i$\\
$\lambda_1=1+i$\\
$\lambda_2=1-i$\\
$x_1(t)=e^t\cos(t)=y_1(t)$\\
$x_2(t)=e^t\sin(-t)=y_2(t)$\\
$x(t)=c_1e^t\cos(t)-c_2e^t\sin(t)$\\
$y(t)=c_3e^t\cos(t)-c_4e^t\sin(t)$\\}\)

Co dalej? Mogę tak zostawić?

[Mariusz M]

Jak nie masz podanych warunków początkowych to przyjmujesz za nie dowolne stałe

Jeśli chodzi o metodę operatorową to czy nie powinieneś skorzystać z przekształcenia Laplace ?


\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }f'\left( t\right) e^{-st} \mbox{d}t=f\left( t\right)e^{-st}\biggl|_{0}^{ \infty }+s\int_{0}^{ \infty }f\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t\\
\mathcal{L}\left\{f'\left( t\right) \right\}=-f\left( 0^{+}\right)+s \mathcal{L}\left\{f\left( t\right)\right\} \\}\)