Matematyka.pl

Proszę o wskazówkę jak powinienem ruszyć to równianie różniczkowe.

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } }{x} + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 0}\)

Równanie Bernoulliego.

Można inaczej:

po przekształceniu masz:

\(\displaystyle{ (x^2+y^2)dx+ydy=0}\)

\(\displaystyle{ M=x^2+y^2, N=y}\)

\(\displaystyle{ \pfrac{M}{y}=2y,\pfrac{N}{x}=0}\)

Szukamy czynnika całkującego z równania:

\(\displaystyle{ y\pfrac{\ln \mu}{x}-(x^2+y^2)\pfrac{\ln \mu}{y}=2y}\)

Możemy założyć, że czynnik całkujący nie zależy od y czyli równanie się uprości do:

\(\displaystyle{ \pfrac{\ln \mu}{x}=2}\)

po rozwiązaniu otrzymasz:

\(\displaystyle{ \mu=e^{2x}}\)

i początkowe równanie przybierze kształt:

\(\displaystyle{ e^{2x}(x^2+y^2)dx+e^{2x}ydy=0}\)

A teraz:

\(\displaystyle{ M=e^{2x}(x^2+y^2) , N=e^{2x}y}\)


\(\displaystyle{ \pfrac{M}{y}=\pfrac{N}{x}=2ye^{2x}}\)

Można podstawić do wzoru:

\(\displaystyle{ \int Mdx+\int Ndy=C}\)

Obliczyć całki i koniec...

Traktując to jak równanie Bernouliego trzeba by było zapisać w formie:

\(\displaystyle{ y'+y=-x^2y^{-1}}\)

\(\displaystyle{ n=-1}\)

i co dalej?

można i tak...
Choć nie wiem czemu ale lubię czynniki całkujące...