Matematyka.pl

Proszę o rozwiązanie równania metodą operatorową
\(\displaystyle{ y''+6y'+8y=e ^{3t}}\) z warunkami początkowymi \(\displaystyle{ y(0)=0}\) \(\displaystyle{ y'(0)=-1}\)

Ewentualnie proszę materiały proszę o materiały pozwalające rozwiązać lub zrozumieć rozwiązanie tego typu zadań.

Zaczyna są zawsze tak samo od policzenia i skorzystania z jej własności (liniowość i stablicowane wzory które warto dla treningu udowodnić.)

Przekształcenie Laplace’a mówi tyle że:

\(\displaystyle{ y'' \rightarrow s^2Y-sy(0)-y'(0)=s^2Y+1}\)

\(\displaystyle{ y' \ \rightarrow sY-y(0)=sY}\)

\(\displaystyle{ y \ \rightarrow Y}\)

\(\displaystyle{ e^{3t} \rightarrow \frac{1}{s-3}}\)

Mając to można równanie zapisać w zapisie operatorowym

\(\displaystyle{ s^2Y+1+6sY+8Y=\frac{1}{s-3}}\)

\(\displaystyle{ Y=\frac{1}{(s-3)(s^2+6s+9)}}\)

Nakładając stronami transformatę odwrotną można zapisać

\(\displaystyle{ y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{(s-3)(s^2+6s+9)}\right\}}\)

By policzyć transformatę odwrotną stosujemy zamianę na ułamki proste i tabelę transformat (którą podlinkowałem).

\(\displaystyle{ \frac{1}{(s-3)(s^2+6s+9)}= \frac{1}{36(s-3)}-\frac{1}{36(s+3)}-\frac{1}{6(s+3)^2}}\)

\(\displaystyle{ y(t)= \frac{e^{3t}}{36}-\frac{e^{-3t}}{36}-\frac{te^{-3t}}{6}}\)