Rozwiązanie ogólne równania Eulera
: 30 sty 2018, o 19:07
Cześć,
właśnie rozwiązuje sobie równanie Eulera trzeciego rzędu i zatrzymałem się w jednym miejscu. Czy do tej pory wszystko poprawnie? Co dalej mam zrobić? Dla równania drugiego rzędu nie byłoby problemu, lecz trzeciego nie jestem pewien czy metoda uzmienniania stałych tutaj będzie pasować. Spójrzcie:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
\(\displaystyle{ t^{3}y'''-t^{2}y''+2ty'-2y=t^{3}}\)
\(\displaystyle{ t^{3}y'''(t)-t^{2}y''(t)+2ty'(t)-2y(t)=0}\)
\(\displaystyle{ y(t)=t^{k}}\)
\(\displaystyle{ y'(t)=kt^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ y''(t)=k(k-1)t^{k-2}}\)
\(\displaystyle{ y'''(t)=k(k-1)(k-2)t^{k-3}}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)t^{k}-k(k-1)t^{k}+2kt^{k}-2t^{k}=0 / :t^{k}}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)-k(k-1)+2k-2=0}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)-(k-2)(k-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (k-1)^{2}(k-2)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1}(t)=t}\)
\(\displaystyle{ y_{2}(t)=t\ln(t)}\)
\(\displaystyle{ y_{3}(t)=t^{2}}\)
\(\displaystyle{ y(t)=c_{1}(t)t+c_{2}(t)t\ln(t)+c_{3}(t)t^{2}}\)
No i na tym się zasadniczo zatrzymałem. Jakieś pomysły jak dalej ruszyć?
właśnie rozwiązuje sobie równanie Eulera trzeciego rzędu i zatrzymałem się w jednym miejscu. Czy do tej pory wszystko poprawnie? Co dalej mam zrobić? Dla równania drugiego rzędu nie byłoby problemu, lecz trzeciego nie jestem pewien czy metoda uzmienniania stałych tutaj będzie pasować. Spójrzcie:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
\(\displaystyle{ t^{3}y'''-t^{2}y''+2ty'-2y=t^{3}}\)
\(\displaystyle{ t^{3}y'''(t)-t^{2}y''(t)+2ty'(t)-2y(t)=0}\)
\(\displaystyle{ y(t)=t^{k}}\)
\(\displaystyle{ y'(t)=kt^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ y''(t)=k(k-1)t^{k-2}}\)
\(\displaystyle{ y'''(t)=k(k-1)(k-2)t^{k-3}}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)t^{k}-k(k-1)t^{k}+2kt^{k}-2t^{k}=0 / :t^{k}}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)-k(k-1)+2k-2=0}\)
\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)-(k-2)(k-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (k-1)^{2}(k-2)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1}(t)=t}\)
\(\displaystyle{ y_{2}(t)=t\ln(t)}\)
\(\displaystyle{ y_{3}(t)=t^{2}}\)
\(\displaystyle{ y(t)=c_{1}(t)t+c_{2}(t)t\ln(t)+c_{3}(t)t^{2}}\)
No i na tym się zasadniczo zatrzymałem. Jakieś pomysły jak dalej ruszyć?