Pochodna w równaniu różniczkowym cząstkowym II rzędu
: 25 sty 2018, o 19:09
Witam,
udało mi się częściowo rozwiązać zadanie, polegające na zapisie równania różniczkowego w postaci kanonicznej, jednakże, niestety mam problemu w wykonaniu pochodnej II rzędu, która jest potrzebna do zmiany postaci równania.
\(\displaystyle{ x ^{2} \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} }-y ^{2} \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial y ^{2} }=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}u _{xx}-y ^{2}u _{yy}=0}\)
\(\displaystyle{ \partial (x,y)=-4(x ^{2}y ^{2})}\) kiedy \(\displaystyle{ x \neq 0}\) \(\displaystyle{ y \neq 0}\) jest to równanie hiperboliczne
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{-2xy}{2x ^{2} }}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ C _{1}=xy}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{2xy}{2x ^{2}}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ C _{2}= \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \xi=xy}\) oraz \(\displaystyle{ \eta=yx ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ u(x,y) \rightarrow u(\xi,\eta) \rightarrow u(xy,yx ^{-1})}\)
\(\displaystyle{ u _{x}=u _{\xi}y+u _{\eta}(-x ^{2})y}\)
\(\displaystyle{ u _{y}=u _{\xi}x+u _{\eta}x ^{-1}}\)
Dalej niestety mam problem z wyznaczeniem pochodnych drugiego rzędu, a próbowałam już wiele razy oraz przeglądałam wszelkie inne posty, wpisy czy filmiki. Również byłabym wdzięczna za wyjaśnienie jak się wyznacza pochodną cząstkową typu \(\displaystyle{ u _{xy}| \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}}\)
udało mi się częściowo rozwiązać zadanie, polegające na zapisie równania różniczkowego w postaci kanonicznej, jednakże, niestety mam problemu w wykonaniu pochodnej II rzędu, która jest potrzebna do zmiany postaci równania.
\(\displaystyle{ x ^{2} \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} }-y ^{2} \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial y ^{2} }=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}u _{xx}-y ^{2}u _{yy}=0}\)
\(\displaystyle{ \partial (x,y)=-4(x ^{2}y ^{2})}\) kiedy \(\displaystyle{ x \neq 0}\) \(\displaystyle{ y \neq 0}\) jest to równanie hiperboliczne
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{-2xy}{2x ^{2} }}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ C _{1}=xy}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{2xy}{2x ^{2}}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ C _{2}= \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \xi=xy}\) oraz \(\displaystyle{ \eta=yx ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ u(x,y) \rightarrow u(\xi,\eta) \rightarrow u(xy,yx ^{-1})}\)
\(\displaystyle{ u _{x}=u _{\xi}y+u _{\eta}(-x ^{2})y}\)
\(\displaystyle{ u _{y}=u _{\xi}x+u _{\eta}x ^{-1}}\)
Dalej niestety mam problem z wyznaczeniem pochodnych drugiego rzędu, a próbowałam już wiele razy oraz przeglądałam wszelkie inne posty, wpisy czy filmiki. Również byłabym wdzięczna za wyjaśnienie jak się wyznacza pochodną cząstkową typu \(\displaystyle{ u _{xy}| \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}}\)