Matematyka.pl

Typowa sytuacja. Rozwiązując równania różniczkowe często podczas obliczeń dostaję coś takiego

\(\displaystyle{ ln(|t|)=m+C}\)

i żeby obliczyć \(\displaystyle{ t}\) robię trik z funkcją \(\displaystyle{ exp}\)

\(\displaystyle{ e^{ln(|t|)} = e^{m+C}}\)

Teraz kluczowy moment. Co z wartością bezwzględną?

\(\displaystyle{ |t|= e^{m+C_{1}}=C_{2} \cdot e^{m}}\)

Czy można zapisać po prostu?

\(\displaystyle{ t= e^{m+C_{1}}=C_{2} \cdot e^{m}}\)

Tu jest moment o który mi chodzi, ale nie jest tam nic powiedziane na ten temat

wartość bezwzględna została opuszczona, dlaczego?

W zeszycie też mam przykład z taką sytuacją, w pewnym momencie wartość bezwzględna zostaje opuszczona, zresztą gdyby nie została opuszczona, to wtedy by się nie skróciło w tym miejscu, gdzie zawsze musi się skracać.

Scrub pisze: Teraz kluczowy moment. Co z wartością bezwzględną?
\(\displaystyle{ |t|= e^{m+C_{1}}=C_{2} \cdot e^{m}}\)

To przejście nie jest poprawne. Lewa i 'środkowa' strona są dodatnie, a prawa może być ujemna.
Dlatego aby ułatwić sobie stałą jestem zmuszony do opuszczenia wartości bezwzględnej
\(\displaystyle{ |t|= e^{m+C_{1}} \Rightarrow t=C_{2} \cdot e^{m}}\)

Czyli \(\displaystyle{ C}\) rozwiązuje problem. Przed chwilą rozwiązałem przykład z \(\displaystyle{ |cos(t)|}\) i też działa Dzięki za odp.