Rozwiązanie ogólne układu

[piksi111-97]

Dzień dobry.
Mam do rozwiązania następujące zadanie:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu \(\displaystyle{ x'(t)=A \cdot x(t) + f(t)}\) , gdzie:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{bmatrix} \hbox{ i } f(t)=\begin{bmatrix} e^t\\e^{2t}\\te^{3t}\end{bmatrix}}\)

Gdyby należało wyznaczyć jedynie rozwiązanie \(\displaystyle{ x'(t)=A \cdot x(t)}\) bez \(\displaystyle{ f(t)}\) , dałbym raczej radę, lecz nie mam pojęcia co zrobić z takim przypadkiem. Na forum nie znalazłem podobnego zadania, w internecie również. :/ Za każdą pomoc będę bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam!
Grzesiek

[NogaWeza]

Skoro dostałeś takie zadanie, to na pewno miałeś wprowadzone pojęcie układu niejednorodnego i stosowne wzory.

Układ \(\displaystyle{ \dot{x} = Ax}\) to układ jednorodny i rozwiązanie tego układu nazywa się często w inżynierii składową swobodną.

Układ \(\displaystyle{ \dot{x} = Ax + Bu}\) to układ niejednorodny i rozwiązanie tego układu to swobodna wymuszona, bo pochodzi od pewnego zewnętrzne w stosunku do układu wymuszenia, mianowicie funkcji \(\displaystyle{ u}\).

Tak się składa, że rozwiązanie układu niejednorodnego to rozwiązanie ogólne układu jednorodnego plus rozwiązanie szczególne układu niejednorodnego. Najpierw należy zatem rozwiązać układ jednorodny, a potem użyć na przykład metody uzmienniania stałej (istnieje ona też w postaci macierzowej) aby wyznaczyć wspomniane wcześniej rozwiązanie szczególne.

Można też zajrzeć do literatury dotyczącej systemów dynamicznych bądź teorii sterowania, gdzie na pewno znajdzie się ogólny wzór na rozwiązanie układu \(\displaystyle{ \dot{x} = Ax + Bu}\) postaci
\(\displaystyle{ x(t) = e^{At} x_0 + \int_{0}^{t} e^{A (t - \tau)} B u(\tau) \dd \tau}\)

[Mariusz M]

Jednorodne można rozwiązać sprowadzając do równania liniowego wyższego rzędu
bądź licząc wartości i wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ \det{\begin{bmatrix} 1-\lambda&1&0\\1&1-\lambda&0\\0&0&3-\lambda\end{bmatrix}}=0\\
=\left( 3-\lambda\right)\left( \left( 1-\lambda\right)^2-1 \right)=0\\
\left( 3-\lambda\right)\left(1-\lambda-1 \right)\left(1-\lambda+1 \right)=0\\
-\lambda\left( \lambda-2\right)\left( \lambda-3\right)=0\\}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{bmatrix} \cdot v=0\\
v_{3}=0\\
v_{1}+v_{2}=0\\
v_{2}=-v_{1}\\
v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot v=0\\
v_{3}=0\\
-v_{1}+v_{2}=0\\
v_{1}=v_{2}\\
v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&1&0\\1&-2&0\\0&0&0\end{bmatrix}\\
-2v_{1}+v_{2}=0\\
v_{1}-2v_{2}=0\\
v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ x_{j}=v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}e^{0t}+v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}+v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\
x_{j}=v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}+v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}+v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\}\)

Uzmienniasz stałe , twój układ wygląda tak

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&e^{2t}&0 \\ -1&e^{2t}&0\\0&0&e^{3t} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} C_{1}'\left( t\right) \\ C_{2}'\left( t\right)\\C_{3}'\left( t\right) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \\te^{3t}\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} C_{1}'\left( t\right) \\ C_{2}'\left( t\right)\\C_{3}'\left( t\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&e^{2t}&0 \\ -1&e^{2t}&0\\0&0&e^{3t} \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \\te^{3t}\end{bmatrix}\\}\)

[karolcia15]

Witam was koledzy,
napotkałam na podobny problem w zadaniu. Część przedstawioną powyżej również udało mi się zrobić. Wymnożyłam wszystko i policzyłam całki po Cx't), jednak nie do końca wiem co zrobić z wyliczonymi C1(t), C2(t) oraz C3(t). Jakieś rady?
Z góry wam serdecznie dziękuję!

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x_{s}=C_{1}\left( t\right)x_{1}\left( t\right)+C_{2}\left( t\right)x_{2}\left( t\right)+C_{3}\left( t\right)x_{3}\left( t\right)\\
x_{1}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}\\
x_{2}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}\\
x_{3}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\}\)

[karolcia15]

Dziękuję ci ślicznie, miłego tygodnia!