Równanie różniczkowe niejednorodne (dwoma sposobami)

[Gui]

Cześć! Mam do rozwiązania równanie: \(\displaystyle{ y'+2y=x^2}\). Samo równanie nie należy do najtrudniejszych, ale przy dodatkowym poleceniu, aby rozwiązać dwoma sposobami, uzmienniając stałą wychodzi mi wynik \(\displaystyle{ y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}}\), a przy odgadywaniu całki szczególnej (która wyszła mi \(\displaystyle{ y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}}\)), dodając do tego całkę równania jednorodnego ostateczna całka ogólna wychodzi \(\displaystyle{ y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}\ +Ce^{-2x}}\). I to właśnie rozwiązanie jest poprawne, bo znalazłem to zadanie w "krysickim", ale jest tam tylko tą metodą zgadywania. Mógłby ktoś rozwiązać uzmienniając, żebym mógł sobie porównać i znaleźć błąd?

[Premislav]

Równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ y'+2y=0\\ \frac{y'}{y}=-2\\ \ln |y|=-2x+C\\ y=C_1 \cdot e^{-2x}}\)
Teraz przyjmując \(\displaystyle{ C_1=C_1(x)}\) i wstawiając do równania niejednorodnego, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ C_1'(x)e^{-2x}-2C_1(x) e^{-2x}+2C_1(x)e^{-2x}=x^2\\C_1'(x)=x^2 \ e^{2x}}\)
i teraz całkujemy ten syf przez części:
\(\displaystyle{ C_1(x)= \int_{}^{} x^2 e^{2x}\,\dd x= \frac{1}{2}x^2 e^{2x}- \int_{}^{} xe^{2x}\,\dd x=\\=\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 2 \int_{}^{}e^{2x}\,\dd x=\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 4e^{2x}}\)
z dokładnością do stałej,
więc rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest postaci
\(\displaystyle{ y_{sz}=e^{-2x}\left(\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 4e^{2x}\right)=\\=\frac 1 2x^2 -\frac{1}{2}x+\frac 1 4}\)
a więc rozwiązanie ogólne jest postaci…

[kerajs]

Inaczej:
\(\displaystyle{ y'+2y=x^2\\
y'e^{2x}+2ye^{2x}=x^2e^{2x}\\
(ye^{2x})'_x=x^2e^{2x}\\
ye^{2x}= \int_{}^{} x^2e^{2x} \mbox{d}x \\
ye^{2x}= \frac{1}{2} x^2e^{2x} -\frac{1}{2} xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C\\
y= \frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}+Ce^{-2x}}\)