Metoda operatorowa

[Spider49]

Witam,
Mam problem z rozwiązaniem tego układu metodą operatorową.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'+x-z=0 \\ z'+y'+y=0 \\ x'+x-z'=0 \end{cases}}\)

Zapisałem powyższy układ przy użyciu operatorów.

\(\displaystyle{ \begin{cases} (D+1)x-z=0 \\ Dz+(D+1)y=0 \\ (D+1)x-Dz=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}=-D^3-3D^2-3D-1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix} 0&0&-1\\0&D+1&D\\0&0&-D\end{bmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}y=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}z=0}\)

w ten sposób otrzymałem równania zwyczajne rzędu trzeciego:

\(\displaystyle{ (-D^3-3D^2-3D-1)x=-x'''-3x''-3x'-x=0}\)
\(\displaystyle{ (-D^3-3D^2-3D-1)y=-y'''-3y''-3y'-y=0}\)
\(\displaystyle{ (-D^3-3D^2-3D-1)z=-z'''-3z''-3z'-z=0}\)

Tutaj chciałem rozwiązać równanie metodą przewidywań.
równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ -x'''-3x''-3x'-x=0}\)

\(\displaystyle{ -\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=0}\)

\(\displaystyle{ (-\lambda^2-2\lambda-1)(\lambda+1)=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda=-1}\)

\(\displaystyle{ (\lambda+1)^3=0}\)

W tym miejscu nie wiem jaką postać będzie miała powyższe równanie. Czy na tym etapie wszystko jest w porządku oraz co trzeba zrobić dalej ?

[Premislav]

Nie znam tej metody operatorowej, ale trochę mnie niepokoi to rozwiązanie, ponieważ w układzie dostrzegam pewną asymetrię, a Twoja próba rozwiązania w pewien sposób tę asymetrię gubi.

Ponieważ jestem leniwy, więc zauważyłbym, że z pierwszego i trzeciego równania wynika, iż
\(\displaystyle{ z'=z}\), czyli \(\displaystyle{ z=C_1 e^t}\), po zastosowaniu obserwacji \(\displaystyle{ z'=z}\) do pierwszego i drugiego równania możemy zaś otrzymać \(\displaystyle{ (x+y)'=-(x+y)}\), czyli \(\displaystyle{ x(t)+y(t)=C_2 e^{-t}}\). Ponadto różniczkując stronami pierwsze równanie i wstawiając za \(\displaystyle{ z'}\) do trzeciego, dostajemy bodajże \(\displaystyle{ x''=x}\), a to ma znane rozwiązanie (krotności sinusa i cosinusa). I już prawie koniec.

Jednak rozumiem, że temat ma na celu przećwiczenie ogólnego schematu, obawiam się więc, że błędnie go stosujesz.
Pozdrawiam.

-- 7 sty 2018, o 19:21 --

Jak masz w necie jakieś materiały o tej metodzie, to podrzuć, a może zerknę, mnie jedyne, co się kojarzy z nazwą „metoda operatorowa" to zastosowanie transformaty Laplace'a.

[Spider49]

Korzystałem z tych stron:

Kod: Zaznacz cały

https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/op

... duleId=585

Kod: Zaznacz cały

https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/op

... duleId=584

[Premislav]

Aha, dzięki. No to tak to czytam i wychodzi na to, że sam jestem asymetria, to wygląda poprawnie.

Skoro otrzymałeś równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ (\lambda+1)^3=0}\) , to rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaci \(\displaystyle{ x(t)=C_1 e^{-t}+C_2 te^{-t}+C_3t^2e^{-t}}\) , o ile dobrze pamiętam.

Nie widzę tu jednak zastosowania dla metody przewidywań, przecież otrzymałeś układ równań jednorodnych.

[SlotaWoj]

I aby nie wprowadzać w błąd, to wszędzie w zapisie powinny być wyznaczniki, a nie macierze:

• \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{vmatrix}=-D^3-3D^2-3D-1}\)

[Mariusz M]

Czy metoda operatorowa to nie przekształcenie Laplace?