Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu
Chodziło mi o konkretne wyznaczenie ile \(\displaystyle{ C_1}\) wynosi.
Mamy \(\displaystyle{ v(0)=0}\) czyli:
\(\displaystyle{ 0=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(C_1)},\\
e^{-2(C_1)}=g,}\)
co można od razu podstawić do rozwiązania:
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{g}{2}e^{-2t}.}\)
W granicy mamy teraz:
\(\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\frac{g}{2},}\)
bo funkcja wykładnicza dąży do zera.
Mamy \(\displaystyle{ v(0)=0}\) czyli:
\(\displaystyle{ 0=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(C_1)},\\
e^{-2(C_1)}=g,}\)
co można od razu podstawić do rozwiązania:
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{g}{2}e^{-2t}.}\)
W granicy mamy teraz:
\(\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\frac{g}{2},}\)
bo funkcja wykładnicza dąży do zera.
- Pipers
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu
AiDi pisze: \(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{g}{2}e^{-2t}.}\)
W granicy mamy teraz:
\(\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\frac{g}{2},}\)
bo funkcja wykładnicza dąży do zera.
Czyli liczymy dla \(\displaystyle{ t = 5}\), a następnie liczymy granicę, której wynikiem jest po prostu przyśpieszenie ziemskie podzielone przez dwa.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu
Tak, a co do drugiego to tak, ale z odpowienimi jednostkami, bo byly one pomijane przez cały rachunek.
- Pipers
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu
No prędkość nam wyjdzie w \(\displaystyle{ \frac{m}{s}}\) tak ?
Wygląda na to, że
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{g}{2}e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ v(5)= \frac{9,8}{2}- \frac{9,8}{2} \cdot e^{-10} = 4,89 \frac{m}{s}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\frac{g}{2}
v(t \rightarrow \infty )= \frac{g}{2}= \frac{9,8}{2}=4,9 \frac{m}{s}}\)
Czy mógłby ktoś potwierdzić ?
Wygląda na to, że
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{g}{2}e^{-2t}}\)
\(\displaystyle{ v(5)= \frac{9,8}{2}- \frac{9,8}{2} \cdot e^{-10} = 4,89 \frac{m}{s}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\frac{g}{2}
v(t \rightarrow \infty )= \frac{g}{2}= \frac{9,8}{2}=4,9 \frac{m}{s}}\)
Czy mógłby ktoś potwierdzić ?
- Pipers
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu
Dzięki !
AiDi, Dobry człowieku, zobacz czemu mi czas wychodzi ujemny w tym wątku.. https://www.matematyka.pl/427751.htm...
AiDi, Dobry człowieku, zobacz czemu mi czas wychodzi ujemny w tym wątku.. https://www.matematyka.pl/427751.htm...
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie
Może od początku.
\(\displaystyle{ F = m\frac{dv}{dt} = mg - uv.}\)
Rozdzielamy w tym równaniu zmienne
\(\displaystyle{ dt = \frac{mdv}{mg - kv}= \frac{dv}{g- \frac{u}{m}v}}\) (1)
Całkujemy obie strony równości (1) mamy
\(\displaystyle{ t = - \frac{m}{u}\int\frac{d\left(g - \frac{u}{m}v\right)}{g - \frac{u}{m}v}= -\frac{m}{u}\ln \left( g -\frac{u}{m}v\right) + C}\) (2)
Rozwiązujemy równanie (2) względem \(\displaystyle{ v}\)
\(\displaystyle{ \ln \left(g - \frac{u}{m}v \right)= \frac{u}{m}(C - t)}\)
czyli
\(\displaystyle{ g - \frac{u}{m}v = e^{\frac{u}{m}(C - t)}= e^{\frac{u}{m}C}\cdot e^{-\frac{u}{m}t}= C_{1}e^{-\frac{u}{m}t},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ C_{1}= e^{\frac{u}{m}C}.}\)
Stąd prędkość:
\(\displaystyle{ v(t) = -\frac{m}{u} C_{1}e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}.}\)
Oznaczając stałą
\(\displaystyle{ -\frac{m}{u}C_{1} = C_{2}}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ v(t) = C_{2}e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}.}\)
W celu znalezienia interesującego nas rozwiązania szczególnego wykorzystamy warunek początkowy
\(\displaystyle{ v(0) = 0 .}\)
\(\displaystyle{ 0 = C_{2}+\frac{mg}{u}}\)
\(\displaystyle{ C_{2} = -\frac{mg}{u}}\)
Zatem szukana funkcja prędkości ma postać:
\(\displaystyle{ v(t) = -\frac{mg}{u} e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}}\) (3)
Podstawiamy do (3)
\(\displaystyle{ m = 2kg, \ \ u = 4 \frac{kg}{s}, \ \ g = 9,81 \frac{m}{s^2}, \ \ t= 5s.}\)
\(\displaystyle{ v(5) = -\frac{2\cdot9,81}{4}e^{-\frac{4}{2}\cdot 5}+\frac{2\cdot 9,81}{4}\approx 4,90 \frac{m}{s}.}\)
Dla \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\to \infty} v(t) = 0 + \frac{2\cdot 9,81}{4} \approx 4,90\frac{m}{s}.}\)
\(\displaystyle{ F = m\frac{dv}{dt} = mg - uv.}\)
Rozdzielamy w tym równaniu zmienne
\(\displaystyle{ dt = \frac{mdv}{mg - kv}= \frac{dv}{g- \frac{u}{m}v}}\) (1)
Całkujemy obie strony równości (1) mamy
\(\displaystyle{ t = - \frac{m}{u}\int\frac{d\left(g - \frac{u}{m}v\right)}{g - \frac{u}{m}v}= -\frac{m}{u}\ln \left( g -\frac{u}{m}v\right) + C}\) (2)
Rozwiązujemy równanie (2) względem \(\displaystyle{ v}\)
\(\displaystyle{ \ln \left(g - \frac{u}{m}v \right)= \frac{u}{m}(C - t)}\)
czyli
\(\displaystyle{ g - \frac{u}{m}v = e^{\frac{u}{m}(C - t)}= e^{\frac{u}{m}C}\cdot e^{-\frac{u}{m}t}= C_{1}e^{-\frac{u}{m}t},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ C_{1}= e^{\frac{u}{m}C}.}\)
Stąd prędkość:
\(\displaystyle{ v(t) = -\frac{m}{u} C_{1}e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}.}\)
Oznaczając stałą
\(\displaystyle{ -\frac{m}{u}C_{1} = C_{2}}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ v(t) = C_{2}e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}.}\)
W celu znalezienia interesującego nas rozwiązania szczególnego wykorzystamy warunek początkowy
\(\displaystyle{ v(0) = 0 .}\)
\(\displaystyle{ 0 = C_{2}+\frac{mg}{u}}\)
\(\displaystyle{ C_{2} = -\frac{mg}{u}}\)
Zatem szukana funkcja prędkości ma postać:
\(\displaystyle{ v(t) = -\frac{mg}{u} e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}}\) (3)
Podstawiamy do (3)
\(\displaystyle{ m = 2kg, \ \ u = 4 \frac{kg}{s}, \ \ g = 9,81 \frac{m}{s^2}, \ \ t= 5s.}\)
\(\displaystyle{ v(5) = -\frac{2\cdot9,81}{4}e^{-\frac{4}{2}\cdot 5}+\frac{2\cdot 9,81}{4}\approx 4,90 \frac{m}{s}.}\)
Dla \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{t\to \infty} v(t) = 0 + \frac{2\cdot 9,81}{4} \approx 4,90\frac{m}{s}.}\)
Ostatnio zmieniony 4 sty 2018, o 13:55 przez janusz47, łącznie zmieniany 2 razy.
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie
Po pierwsze - nie wiem jaki jest sens wstawiać rozwiązanie zadania, które już zostało do końca rozwiązane. Nabijanie sobie postów? Radzę tego nie robić, bo to nie pierwszy raz. Wielki Brat wszystko widzi.
Po drugie - rozwiązanie zawiera pomyłkę:
Po drugie - rozwiązanie zawiera pomyłkę:
Coś Ci się odwróciło w wykładnikach, stąd jedna z Twoich odpowiedzi jest błędna.janusz47 pisze: \(\displaystyle{ v(t) = C_{2}e^{-\red{\frac{u}{m}}t} +\frac{mg}{u}.}\)
(...)
\(\displaystyle{ v(t) = -\frac{mg}{u} e^{-\red{\frac{m}{u}}t} +\frac{mg}{u}}\) (3)
- AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie
Po poprawce dalej jest źle (prędkość większa niż prędkość graniczna...). Krytykuję bo jest taka potrzeba. Rozwiązanie, które zostało przedstawione przez dwie pierwsze strony jest poprawne, więc spuść proszę z tonu.janusz47 pisze: \(\displaystyle{ v(5) = -\frac{2\cdot9,81}{4}e^{-\frac{4}{2}\cdot 5}+\frac{2\cdot 9,81}{4}\approx \red{9,81 \frac{m}{s}}.}\)
Ukryta treść: