Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie

[AiDi]

Chodziło mi o konkretne wyznaczenie ile \(\displaystyle{ C_1}\) wynosi.
Mamy \(\displaystyle{ v(0)=0}\) czyli:
\(\displaystyle{ 0=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(C_1)},\\
e^{-2(C_1)}=g,}\)
co można od razu podstawić do rozwiązania:
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{g}{2}e^{-2t}.}\)
W granicy mamy teraz:
\(\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\frac{g}{2},}\)
bo funkcja wykładnicza dąży do zera.

[Pipers]

\(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{g}{2}e^{-2t}.}\)
W granicy mamy teraz:
\(\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\frac{g}{2},}\)
bo funkcja wykładnicza dąży do zera.

Czyli liczymy dla \(\displaystyle{ t = 5}\), a następnie liczymy granicę, której wynikiem jest po prostu przyśpieszenie ziemskie podzielone przez dwa.

[AiDi]

Tak, a co do drugiego to tak, ale z odpowienimi jednostkami, bo byly one pomijane przez cały rachunek.

[Pipers]

No prędkość nam wyjdzie w \(\displaystyle{ \frac{m}{s}}\) tak ?

Wygląda na to, że
\(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{g}{2}e^{-2t}}\)

\(\displaystyle{ v(5)= \frac{9,8}{2}- \frac{9,8}{2} \cdot e^{-10} = 4,89 \frac{m}{s}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\frac{g}{2}

v(t \rightarrow \infty )= \frac{g}{2}= \frac{9,8}{2}=4,9 \frac{m}{s}}\)

Czy mógłby ktoś potwierdzić ?

[AiDi]

Potwierdzam.

[Pipers]

Dzięki !
AiDi, Dobry człowieku, zobacz czemu mi czas wychodzi ujemny w tym wątku.. https://www.matematyka.pl/427751.htm...

[janusz47]

Może od początku.

\(\displaystyle{ F = m\frac{dv}{dt} = mg - uv.}\)

Rozdzielamy w tym równaniu zmienne

\(\displaystyle{ dt = \frac{mdv}{mg - kv}= \frac{dv}{g- \frac{u}{m}v}}\) (1)

Całkujemy obie strony równości (1) mamy

\(\displaystyle{ t = - \frac{m}{u}\int\frac{d\left(g - \frac{u}{m}v\right)}{g - \frac{u}{m}v}= -\frac{m}{u}\ln \left( g -\frac{u}{m}v\right) + C}\) (2)

Rozwiązujemy równanie (2) względem \(\displaystyle{ v}\)

\(\displaystyle{ \ln \left(g - \frac{u}{m}v \right)= \frac{u}{m}(C - t)}\)

czyli

\(\displaystyle{ g - \frac{u}{m}v = e^{\frac{u}{m}(C - t)}= e^{\frac{u}{m}C}\cdot e^{-\frac{u}{m}t}= C_{1}e^{-\frac{u}{m}t},}\)

gdzie

\(\displaystyle{ C_{1}= e^{\frac{u}{m}C}.}\)

Stąd prędkość:

\(\displaystyle{ v(t) = -\frac{m}{u} C_{1}e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}.}\)

Oznaczając stałą

\(\displaystyle{ -\frac{m}{u}C_{1} = C_{2}}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ v(t) = C_{2}e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}.}\)

W celu znalezienia interesującego nas rozwiązania szczególnego wykorzystamy warunek początkowy

\(\displaystyle{ v(0) = 0 .}\)

\(\displaystyle{ 0 = C_{2}+\frac{mg}{u}}\)

\(\displaystyle{ C_{2} = -\frac{mg}{u}}\)

Zatem szukana funkcja prędkości ma postać:

\(\displaystyle{ v(t) = -\frac{mg}{u} e^{-\frac{u}{m}t} +\frac{mg}{u}}\) (3)

Podstawiamy do (3)

\(\displaystyle{ m = 2kg, \ \ u = 4 \frac{kg}{s}, \ \ g = 9,81 \frac{m}{s^2}, \ \ t= 5s.}\)

\(\displaystyle{ v(5) = -\frac{2\cdot9,81}{4}e^{-\frac{4}{2}\cdot 5}+\frac{2\cdot 9,81}{4}\approx 4,90 \frac{m}{s}.}\)

Dla \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t\to \infty} v(t) = 0 + \frac{2\cdot 9,81}{4} \approx 4,90\frac{m}{s}.}\)

[AiDi]

Po pierwsze - nie wiem jaki jest sens wstawiać rozwiązanie zadania, które już zostało do końca rozwiązane. Nabijanie sobie postów? Radzę tego nie robić, bo to nie pierwszy raz. Wielki Brat wszystko widzi.
Po drugie - rozwiązanie zawiera pomyłkę:

\(\displaystyle{ v(t) = C_{2}e^{-\red{\frac{u}{m}}t} +\frac{mg}{u}.}\)
(...)
\(\displaystyle{ v(t) = -\frac{mg}{u} e^{-\red{\frac{m}{u}}t} +\frac{mg}{u}}\) (3)

Coś Ci się odwróciło w wykładnikach, stąd jedna z Twoich odpowiedzi jest błędna.

[janusz47]

Zobacz jak wygląda rozwiązanie poprawne i nie krytykuj!

[AiDi]

\(\displaystyle{ v(5) = -\frac{2\cdot9,81}{4}e^{-\frac{4}{2}\cdot 5}+\frac{2\cdot 9,81}{4}\approx \red{9,81 \frac{m}{s}}.}\)

Po poprawce dalej jest źle (prędkość większa niż prędkość graniczna...). Krytykuję bo jest taka potrzeba. Rozwiązanie, które zostało przedstawione przez dwie pierwsze strony jest poprawne, więc spuść proszę z tonu.

Ukryta treść:    

AU

PuwPXRi.gif (2.32 MiB) Przejrzano 93 razy

[janusz47]

Nie ma potrzeby!
Panią Magdę Gessler lubię. Dzięki!