Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie

Post autor: Pipers »

Z pewnej wysokości upuszczono cegłę o masie \(\displaystyle{ m=2kg}\). Siła oporu powietrza jest proporcjonalna do jej prędkości. Zmianę pędu cegły opisuje równanie różniczkowe :

\(\displaystyle{ m \frac{dv}{dt}=mg - uv}\)

Obliczyć jaką prędkość będzie miała cegła po czasie \(\displaystyle{ t = 5s ?}\)
Policzyć jaka będzie prędkość, gdy \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\). W obliczeniach przyjąć, że \(\displaystyle{ u =
4 [ \frac{kg}{s}]}\)
oraz, że \(\displaystyle{ v(0)=0}\)

Według mnie, trzeba rozwiązać równanie różniczkowe, ze zmiennymi rozdzielonymi, a potem to samo równanie z warunkiem brzegowym \(\displaystyle{ v(0) = 0}\).

Przy mojej próbuje rozwiązania zadania napotykam problem z dojściem do postaci po lewej stronie równania \(\displaystyle{ \frac{dv}{v}}\).
Ostatnio zmieniony 2 sty 2018, o 09:25 przez Pipers, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi »

Po lewej będziesz miał:
\(\displaystyle{ m \frac{dv}{mg - uv}=\frac{dv}{g - \frac{u}{m}v}}\).

A jednostek nie piszemy w nawiasie.
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers »

Czyli tok jest następujący :

\(\displaystyle{ m \frac{dv}{dt} = mg - uv}\)

\(\displaystyle{ m \frac{dv}{mg - uv } = dt}\)

\(\displaystyle{ \frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = \frac{dt}{m}}\)

I teraz mogę całkować .., a po prawej stronie wyciągam \(\displaystyle{ m}\) przed całkę, bo traktuje to jako stałą, a dokladniej to wyciągam \(\displaystyle{ \frac{1}{m}}\). Wynik całkowania prawej strony równania to po prostu nasz czas \(\displaystyle{ t}\). I za niego postawiam wartość 5 sekund. Prosiłbym o pomoc z całką :

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dv}{g - \frac{u}{m} v }}\)
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi »

Jak już wyciągniesz \(\displaystyle{ m}\) z mianownika z lewej to się ono skróci i nie będzie już po prawej i zostanie samo \(\displaystyle{ dt}\). Co do całki: zrób podstawienie \(\displaystyle{ w=g-\frac{u}{m}v}\).
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers »

Powinienem zrobić te zadanie dzisiaj, a grypa żołądkowa mi w tym nie pomaga. Część dalsza rozważań :

równanie powinno wyglądać tak :

\(\displaystyle{ \frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = dt}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = \int_{}^{} dt}\)

\(\displaystyle{ t =g - \frac{u}{m} v}\)

jako, że stosunek \(\displaystyle{ \frac{u}{m} = 2}\) to też,

\(\displaystyle{ t =g - 2 v}\)
\(\displaystyle{ dt = - 2dv}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}dt =dv}\)

następnie rozwiązuje całkę:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{t} dt}\)

wszystko się zgadza ?
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi »

Tak, tylko oznaczanie nowej zmiennej całkowania przez \(\displaystyle{ t}\) uznałbym za dość ryzykowne
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers »

Rzeczywiście hahahaha, przywyczajenie do oznaczeń za czasów studiów... mamy już jedno \(\displaystyle{ t}\)
Idąc tropem :


\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{w} dw}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \cdot \ln \left| w\right| + C}\)
stąd możemy ułożyć równanie :
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \cdot \ln \left| g - 2v\right| + C = t}\)

Tutaj będą duże opory, mimo, że jestem pewny, że rozwiązanie jest infantylnie proste. Pewnie widzisz, że wkładam jakiś wysiłek, dlatego proszę też o dokończenie w celu wydedukowania metodologi rozwiązania takiego zadania... niczego podobnego też tu nie znalazłem ( bardzo podobnego ) dlatego innym się przyda, tak sądzę.

-- 2 sty 2018, o 14:00 --

AiDi, Chciałem dodać też.., że im większa siła jest przyłożona, tym większy opór napotykasz.. szczególnie w matematyce
Ostatnio zmieniony 2 sty 2018, o 22:23 przez Pipers, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi »

Piszę z telefonu, więc na chwilę obecną mogę dać tylko opis słowny: przenieś stałą na drugą stronę, pozbądź się ułamka przy logarytmie, skorzystaj z definicji logarytmu, wywikłaj \(\displaystyle{ v}\) (wyrażenie pod modułem jest dodatnie). Następnie z warunków brzegowych znajdź stałą całkowania.
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers »

Mógłbyś to rozpisać ?
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi »

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \cdot \ln \left| g - 2v\right| + C = t,\\
- \frac{1}{2} \cdot \ln \left| g - 2v\right| = t+C_1,\\
\ln \left| g - 2v\right|=-2(t+C_1),\\
\left| g - 2v\right|=e^{-2(t+C_1)},\\
g-2v=e^{-2(t+C_1)},\\
v(t)=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(t+C_1)}.}\)


Dalej warunki brzegowe.
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie

Post autor: Pipers »

Pipers pisze: Policzyć jaka będzie prędkość, gdy \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\). W obliczeniach przyjąć, że \(\displaystyle{ u =
4 [ \frac{kg}{s}]}\)
oraz, że \(\displaystyle{ v(0)=0}\)

Jak odnieść się do nieskończoności ? Tak samo jak liczyło się granice podstawić pod \(\displaystyle{ t}\) w równaniu \(\displaystyle{ \infty}\) ?
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi »

Nie (tzn. nie do końca wiem co masz na myśli), trzeba wziąć granicę rozwiązania przy \(\displaystyle{ t\rightarrow \infty}\). To funkcja wykładnicza, ma asymptotę, itd. Prędkość w "nieskończoności" jest tym co zwykle nazywa się 'prędkością graniczną'. W rzeczywistości osiągana jest oczywiście dużo szybciej. Co wynika z tego, że rzeczywista siła oporu zależy też od wartości prędkości w wyższych potęgach, przy których 'asymptotyczność' zanika.
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers »

Szczerze napiszę, że nie wiem jak to zrobić.. mógłbyś to rozpisać ? Może obliczyć w powyższych równaniach całkę oznaczoną od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) ? AiDi, Swoją drogą gdzie można znaleźć takie zadania z treścią z równań różniczkowych ?
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi »

Przedstaw proszę wzór na \(\displaystyle{ v(t)}\) bo nie miałem kiedy wyznaczyć stałej całkowania. A gdzie znaleźć? Dobre pytanie, możliwe że coś u Krysickiego się znajdzie. Ja to głównie miałem na wykładzie z Mechaniki I, ale był to taki czas że ze zbiorów zadań nie korzystałem w ogóle, więc nic na teraz nie przytoczę. Może inni mają coś pod ręką.
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers »

AiDi pisze:\(\displaystyle{ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(t+C_1)}.}\)
Myślałem, że to jest równanie jakie powinno być ? Co mogło się dodać do stałej całkowania ? Naprawdę nie rozumiem.
ODPOWIEDZ