Matematyka.pl

ZANIM PRZECZYTASZ - nie mogę w LaTeX zapisać stopni Celsjusza mimo lewego altu i znaku 0176, w edytorze pokazuje się, ale w poglądzie już nie, dlatego wyświetla się samo C.

Prawo Newtona, które opisuje stygnięcie obiektu o temperaturze \(\displaystyle{ 0\:[^\circ C]}\) w temperaturze otoczenia \(\displaystyle{ 0_{o}\:[^\circ C]\ (0> 0_{o})}\) , wyraża równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ \frac{d0}{dt}=-k(0- 0_{o})}\)

Komisarz Halski znalazł zwłoki w basenie kąpielowym. Temperatura denata wynosiła
\(\displaystyle{ 0_{d}(t=0)=29,5^\circ C}\) , a temperatura wody w basenie \(\displaystyle{ 0_{O}=20^\circ C}\) .
Po dwóch godzinach oględzin ponownie zmierzono temperaturę pozostającego w wodzie ciała denata, która teraz wynosiła \(\displaystyle{ 0_{d}(t=2)=23,5^\circ C}\) . Obliczyć ile czasu upłynęło od śmierci do znalezienia zwłok.

Moja próba rozwiązania problemu.

\(\displaystyle{ \frac{d0}{dt}=-K(0-0_{o})}\)

\(\displaystyle{ \frac{d0}{dt}=-Kdt}\)

\(\displaystyle{ \ln(0-0_{o})= -KdtC}\)

\(\displaystyle{ e^{\ln(0-0_{o})} = e^{-Kt } \cdot e^{C}}\)

\(\displaystyle{ 0-0_{o} = e^{-Kt } \cdot e^{C}}\)

\(\displaystyle{ 0(t) = e^{-Kt } \cdot e^{C}+0_{o}}\)

\(\displaystyle{ 29,5= e^{-K \cdot 0} \cdot e^{C}+20}\)

\(\displaystyle{ 0-0_{o}= 9,5= e^{C}}\)

\(\displaystyle{ 0(t)=(0-0_{o})e^{-Kt }+0_{o}}\)

\(\displaystyle{ 23,5=(29,5-20)e^{-K \cdot 2 }+20}\)

\(\displaystyle{ 3,5=9,5e^{-K \cdot 2 }}\)

\(\displaystyle{ \frac{3,5}{9,5} =e^{-K \cdot 2 }}\)

\(\displaystyle{ \ln(\frac{3,5}{9,5}) = -2 \cdot K}\)

\(\displaystyle{ \frac{\ln(\frac{3,5}{9,5})}{-2} = K \approx 0,5}\)

\(\displaystyle{ 29,5 = (36,6 - 20) e^{-0,5t} + 20}\)

\(\displaystyle{ \frac{9,5}{16,6}= 16,6 \cdot e^{-0,5t}}\)

\(\displaystyle{ \ln(\frac{9,5}{16,6}) = -0,5t}\)

\(\displaystyle{ \frac{\ln (\frac{9,5}{16,6})} {-0,5} = t =}\)


Mógłby ktoś sprawdzić ew. uzupełnić !?

Oblicz ten czas \(\displaystyle{ t}\) .

Kto wymyśla i podaje do rozwiązania tak straszne zadania?

Jest tyle pięknych zadań, dotyczących prawa stygnięcia na przykład filiżanka porcelanowa z gorącą kawą czy herbatą.

Oznaczanie jakie sobie wybrałeś są skaranie nieintuicyjne. jest opisane tu.
Temperatura obiektu jest funkcją czasu odnotujmy \(\displaystyle{ T=T(t)}\) funkcja ta zależy od temperatury początkowej i własności fizycznych obiektu (pojemność cieplna). Ogólne rozwiązanie równania stygnięcia daje zależność:

\(\displaystyle{ T(t)=T_r+(T_0-T_r)e^{-kt}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ T_r}\) to temperatura otoczenia tu równa \(\displaystyle{ 20}\) (zakładamy że basen ma stałą temperaturę nie zmieniającą się w czasie).
\(\displaystyle{ T_0}\) to temperatura początkowa układu tu równa \(\displaystyle{ T(0)=T_0=29,5}\) .

Równanie ma więc postać:

\(\displaystyle{ T(t)=20+9,5e^{-kt}}\)

Ponieważ nie znamy własności fizycznych obiektu komisarz dokonał kolejnego pomiaru po czasie \(\displaystyle{ 2}\) godzin wyznaczając \(\displaystyle{ T(2)=23,5}\) tym samym:

\(\displaystyle{ 20+9,5e^{-2k}=23,5}\)

\(\displaystyle{ k \approx 0,499}\)

Można teraz zapisać funkcję stygnięcia ciała:

\(\displaystyle{ T(t)=20+9,5e^{-0,499t}}\)

Pytanie brzmi "ile czasy upływało od zgonu?" Z dobrym przybliżeniem można przyjąć że temperatura zdrowego człowieka to \(\displaystyle{ 36,6}\) , dlatego:

\(\displaystyle{ 36,6=20+9,5e^{-0,499t}}\)

\(\displaystyle{ t=-1,11}\) godziny minęło od zgonu do znalezienia ciała.