Równanie Różniczkowe + metoda numeryczna

[fluffiq]

Poszukuję wsparcia w rozwiązaniu tej metody metodą Eulera:

\(\displaystyle{ x’ = \frac{x}{t}– x^2\\
x(1)=1\\
1 \le t \le 2}\)

[SlotaWoj]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Eulera#Podstawowa_metoda_Eulera

.

Najważniejszy wzór będzie u Ciebie wyglądał tak:

• \(\displaystyle{ x(t_{n+1})=x(t_n)+f\,'\left(x(t_n),t_n)\right)\cdot\Delta t}\)

Trzeba przyjąć jakieś \(\displaystyle{ \Delta t}\) (w Wikipedii \(\displaystyle{ h}\) ). Dla \(\displaystyle{ \Delta t=0,2}\) i \(\displaystyle{ 1< t\le2}\) będziesz miał \(\displaystyle{ 5}\) iteracji.

[fluffiq]

Próbuje rozwiązać to zdanie i mam problem:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} -x^2}\)

Zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = -x^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = 0}\)

wyliczyłem:

\(\displaystyle{ x = Ct}\)

uzmienniłem stałą:

\(\displaystyle{ x = C(t)t}\)

i potem liczę (podstawiając do 1 równania) i dochodzę do momentu:

\(\displaystyle{ \frac{dC\left( t\right) }{dt} \cdot t + C\left( t\right) - C\left( t\right) = (???)}\)

Co powinno być w miejscu \(\displaystyle{ (???)}\) ?

bo gdy w miejsce \(\displaystyle{ (???)}\) wstawię:

\(\displaystyle{ x^2 = (C\left( t\right)t)^2}\)

to wychodzi mi równanie:

\(\displaystyle{ \frac{dC\left( t\right) }{dt} =- C^2\left( t\right)t}\)

i nie bardzo wiem jak to obliczyć :/

[SlotaWoj]

Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(\displaystyle{ x^2}\) jest to równanie nieliniowe.

Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:

• \(\displaystyle{ x(t)=\frac{2t}{C+t^2}}\)

Ale równanie to masz rozwiązać metodą numeryczną opisaną w

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Eulera#Podstawowa_metoda_Eulera

, czyli sporządzić tabelkę:

• \(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|r|}
  \hline
  t&x(t) \\
  \hline
  1,0&1,000000 \\
  1,2&1,000000 \\
  1,4&0,966667 \\
  1,6&0,917873 \\
  1,8&0,864109 \\
  2,0&0,810784 \\ \hline
  \end{tabular}}\)

[fluffiq]

Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(\displaystyle{ x^2}\) jest to równanie nieliniowe.

Jego rozwiązanie analityczne jest następujące:

• \(\displaystyle{ x(t)=\frac{2t}{C+t^2}}\)

Ale równanie to masz rozwiązać metodą numeryczną opisaną w

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Eulera#Podstawowa_metoda_Eulera

, czyli sporządzić tabelkę:

• \(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|r|}
  \hline
  t&x(t) \\
  \hline
  1,0&1,000000 \\
  1,2&1,000000 \\
  1,4&0,966667 \\
  1,6&0,917873 \\
  1,8&0,864109 \\
  2,0&0,810784 \\ \hline
  \end{tabular}}\)

Tak tak, tylko by przejść do tego punktu powinienem mieć rozwiązanie dokładne. Zwłaszcza, że poza metoda Eulera muszę rozwiązać to m.in metoda Taylora.

[Premislav]

Spójrzmy:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} =-x^2}\)

Ja bym to robił tak:

Połóżmy \(\displaystyle{ x=tu}\) , a otrzymamy:

\(\displaystyle{ u+ t\frac{du}{dt} -u=-(tu)^2\\-\frac{1}{u^2}\frac{\,\dd u}{\,\dd t}=t\\ \frac{1}{u}=\frac{t^2}{2}+C\\u(t)= \frac{1}{\frac{t^2}{2}+C}\\ x(t)=\frac{2t}{t^2+C'}}\)

gdzie \(\displaystyle{ C'}\) to stała.

[Mariusz M]

Premislav, ja tutaj widziałem równanie Bernoulliego, a nie jednorodne, ale jakoś przypadkowo podstawienie które podałeś zadziałało.

Źle rozwiązujesz to równanie. Ze względu na \(\displaystyle{ x^2}\) jest to równanie nieliniowe.

Tak, ale jest Bernoulliego, a widziałem na tym forum, jak jeden rozwiązywał równanie Bernoulliego uzmiennieniem stałej.

192255.htm#p706863

Jak ktoś lubi czynnik całkujący, to istnieje czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych.

254966.htm#p960875

\(\displaystyle{ frac{dx}{dt}-frac{x}{t} = -x^2\
muleft( t,x
ight)=exp{left( left( 1-2
ight)int{frac{-1}{t}}
ight) } x^{-2}\
muleft( t,x
ight)=e^{ln{left| t
ight| }} cdot frac{1}{x^2}\
muleft( t,x
ight)=frac{t}{x^2}\}\)

Można je sprowadzić do liniowego podstawieniem:

\(\displaystyle{ frac{dx}{dt} = frac{x}{t} -x^2\
-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}=-frac{1}{t} cdot frac{1}{x} +1\
u=frac{1}{x}\
frac{du}{dt}=-frac{1}{x^2}frac{dx}{dt}\
frac{du}{dt}=-frac{u}{t}+1\
frac{du}{dt}+frac{u}{t}=1\}\)

Teraz równanie jest zarówno liniowe jak i jednorodne.