Wykazać korzystając z nierówności Gronwalla

[tangerine11]

Korzystając z nierówności Gronwalla pokazać, że rozwiązanie problemu:
\(\displaystyle{ x'+a(t)x=f(t),\ x(t_{0})=\lambda}\)
gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ f}\) są funkcjami ciągłymi, zależy w sposób ciągły od \(\displaystyle{ \lambda}\).

Właściwie dopiero poznaję tą nierówność i szczerze mówiąc średnio do mnie przemawia, tzn. widzę treść i rozumiem mniej więcej o co chodzi, ale nie umiem tego wykorzystać w zadaniach.

Widzę że mam równanie liniowe i w sumie tyle.

[janusz47]

Znajdź rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ \phi(t)}\), wykorzystując czynnik całkujący.

Zapisz wartość bezwzględną tego rozwiązania \(\displaystyle{ |\phi(t)|.}\)

Zastosuj do funkcji \(\displaystyle{ |\phi(t)|}\) nierówność Gronwalla.

Z otrzymanej nierówności wyznacz \(\displaystyle{ |x(t)|.}\)

[tangerine11]

Czemu mam wykorzystywać czynnik całkujący do równania liniowego?

Czyli mam przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ dx + (a(t)x - f(t))dt = 0}\) ?

[Premislav]

Chodziło o to, żebyś pomnożyła stronami przez \(\displaystyle{ \exp \left(\int_{t_0}^{t} a(s) \,\dd s\right)}\) i dopatrzyła się po lewej pochodnej iloczynu (tak to przynajmniej zrozumiałem).