Matematyka.pl

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego:

\(\displaystyle{ x'=\frac{x+t}{xt} \\
x(1) = 2 \\
1 \le t \le 2}\)

Podstawienie:

\(\displaystyle{ x\cdot t = u}\)

janusz47, wątpię czy to podstawienie coś da.

To równanie należy rozwiązać numerycznie.

Też o tym pomyślałem ponieważ

\(\displaystyle{ x'=\frac{x+t}{xt}\\
x'= \frac{1}{t}+ \frac{1}{x}\\
x=\frac{1}{u}\\
x'=-\frac{u'}{u^2}\\
-\frac{u'}{u^2}=\frac{1}{t}+u\\
u'=-u^3-\frac{1}{t} \cdot u^2\\
f_{3}\left( t\right)=-1\\
f_{2}\left( t\right)=-\frac{1}{t}\\}\)

Maple twierdzi że to równanie nie spełnia warunku sprowadzalności do
równania o rozdzielonych zmiennych ponieważ

\(\displaystyle{ \left( \frac{f_{3}}{f_{2}} \right)'=af_{2} \\
\left(\frac{-1}{-\frac{1}{t}}\right)'=-\frac{a}{t}\\
\left( t\right)'=-\frac{a}{t}\\
1=-\frac{a}{t}\\}\)

Otrzymaliśmy sprzeczność zatem warunek na sprowadzenie równania do
równania o rozdzielonych zmiennych nie jest spełniony

Z drugiej jednak strony

Franciszek Leja pisze: Można dowieść że czynniki całkujące zawsze istnieją (i to jest ich nieskończenie wiele),
znalezienie jednak czynnika całkującego jest na ogół
zagadnieniem trudniejszym niż całkowanie równania