Strona 1 z 1

Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

: 13 gru 2017, o 10:53
autor: piksi111-97
Dzień dobry.
Nie rozwiązując równania mam określić czy poniżej podany problem początkowy ma rozwiązanie w podanym przedziale i czy to rozwiązanie jest dokładnie jedno:
\(\displaystyle{ y'(t)+\sin(t) y(t)=\frac{1}{t+1},\ \ \ -2 < t < 5,\ \ \ y(1)=0}\)

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{t+1}-y\sin(t)}\)
\(\displaystyle{ t+1\ne 1 \Rightarrow t \neq -1}\)
\(\displaystyle{ y'=f(x,y) \newline}\)

Czy na podstawie tego mogę stwierdzić że funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) nie jest ciągle na przedziale \(\displaystyle{ -2 < t < 5}\) , gdyż nie jest określona w \(\displaystyle{ t=1}\) . W związku z tym równanie \(\displaystyle{ y'=f(x,y)}\) nie ma rozwiązania na podanym przedziale?

Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

: 13 gru 2017, o 19:02
autor: Spektralny
1. O ciągłości funkcji można mówić jedynie tam gdzie jest ona określona. Funkcja którą wskazałeś jest ciągła (w każdym punkcie swojej dziedziny).

2. Nawet gdyby ta, bądź inna funkcja, była nieciągła, nie można wnioskować niczego o braku rozwiązań bo twierdzenie Peana na które chcesz się powołać jest implikacją w przeciwną stronę.

Funkcja \(\displaystyle{ 1/(t+1)}\) nie jest określona na przedziale \(\displaystyle{ (-2,5)}\), więc problem jest nieco źle postawiony.

Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

: 13 gru 2017, o 19:45
autor: piksi111-97
Dzięki Spektralny, a więc zatem możliwa jest jakaś odpowiedź na tak zadane pytanie?

Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

: 13 gru 2017, o 20:13
autor: Spektralny
Może chodziło o przedział \(\displaystyle{ (-1,5)}\)?

Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

: 13 gru 2017, o 20:19
autor: piksi111-97
Spróbuję się jutro dowiedzieć od prowadzącego ćwiczenia, dzięki za pomoc!