Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

Post autor: piksi111-97 » 13 gru 2017, o 10:53

Dzień dobry.
Nie rozwiązując równania mam określić czy poniżej podany problem początkowy ma rozwiązanie w podanym przedziale i czy to rozwiązanie jest dokładnie jedno:
\(\displaystyle{ y'(t)+\sin(t) y(t)=\frac{1}{t+1},\ \ \ -2 < t < 5,\ \ \ y(1)=0}\)

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{t+1}-y\sin(t)}\)
\(\displaystyle{ t+1\ne 1 \Rightarrow t \neq -1}\)
\(\displaystyle{ y'=f(x,y) \newline}\)

Czy na podstawie tego mogę stwierdzić że funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) nie jest ciągle na przedziale \(\displaystyle{ -2 < t < 5}\) , gdyż nie jest określona w \(\displaystyle{ t=1}\) . W związku z tym równanie \(\displaystyle{ y'=f(x,y)}\) nie ma rozwiązania na podanym przedziale?
Ostatnio zmieniony 13 gru 2017, o 16:55 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

Post autor: Spektralny » 13 gru 2017, o 19:02

1. O ciągłości funkcji można mówić jedynie tam gdzie jest ona określona. Funkcja którą wskazałeś jest ciągła (w każdym punkcie swojej dziedziny).

2. Nawet gdyby ta, bądź inna funkcja, była nieciągła, nie można wnioskować niczego o braku rozwiązań bo twierdzenie Peana na które chcesz się powołać jest implikacją w przeciwną stronę.

Funkcja \(\displaystyle{ 1/(t+1)}\) nie jest określona na przedziale \(\displaystyle{ (-2,5)}\), więc problem jest nieco źle postawiony.

piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

Post autor: piksi111-97 » 13 gru 2017, o 19:45

Dzięki Spektralny, a więc zatem możliwa jest jakaś odpowiedź na tak zadane pytanie?

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

Post autor: Spektralny » 13 gru 2017, o 20:13

Może chodziło o przedział \(\displaystyle{ (-1,5)}\)?

piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Re: Twierdzenie o istnieniu rozwiązania

Post autor: piksi111-97 » 13 gru 2017, o 20:19

Spróbuję się jutro dowiedzieć od prowadzącego ćwiczenia, dzięki za pomoc!

ODPOWIEDZ