Określić czy podany problem początkowy ma rozwiązanie

[Philip]

Witam
Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem:
Nie rozwiązując równania określić czy poniżej podany problem początkowy ma rozwiązanie w podanym przedziale i czy to rozwiązanie jest dokładnie jedno:

\(\displaystyle{ y'(t)+ \frac{1}{t}y(t)=\sin (t), -10<t<10, y(8)=1}\)

Zasadniczo nie wiem nawet jak się za to zabrać. Jakieś wskazówki?


Z góry dzięki

[szw1710]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Picarda

Wątpliwości jedna budzi dziedzina, gdzie funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\frac{1}{t}}\) ma asymptotę. Więc nie można tego równania rozważać w całym przedziale \(\displaystyle{ (-10,10)}\), gdyż nie istnieje funkcja spełniająca je w zerze.

Można rozważać to równanie na półosi dodatniej - tam powinno mieć jednoznaczne rozwiązanie zgodnie z twierdzeniem Picarda. Jednak można też do niego dokleić dowolne rozwiązanie na półosi ujemnej, więc o jednoznaczność raczej trudno.

[Philip]

Z tego co wyczytałem TW Picarda można zastosować dla funkcji ciągłej. Ta zaś ma asymptotę właśnie w zerze. Zatem powinienem rozwiązać zadane dwa razy? Dla przedziału \(\displaystyle{ (-10,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,10)}\) ?

W każdym razie. Mógłbym prosić o jakiś przykład zastosowania tego twierdzenia, dla jakiegokolwiek zadania?

[Philip]

Ok. Tak to zrobiłem :
\(\displaystyle{ y'(t)+\frac{1}{t}y(t)=\sin{t},\quad y(8)=1,-10<t<10}\)
\(\displaystyle{ y'(t)=f(t,y)}\)
\(\displaystyle{ y'(t)=\sin{t}-\frac{1}{t}y(t)}\)
\(\displaystyle{ f(t,y)=\sin{t}-\frac{1}{t}y(t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{df(t,y)}{dy}=-\frac{1}{t}}\)
Skoro \(\displaystyle{ f(t,y)}\) i\(\displaystyle{ \frac{df(t,y)}{dy}}\) są ciągłe w naszym obszarze oraz warunek początkowy również do niego należy, to zgodnie z TW. Picarda nasze zagadnienie początkowe ma rozwiązanie.

Czy o to mniej więcej chodzi?