Wyznaczenie obszaru z jednym rozwiązaniem

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Wyznaczenie obszaru z jednym rozwiązaniem

Post autor: piksi111-97 » 1 gru 2017, o 19:08

Dzień dobry,
Jak można wyznaczyć obszar \(\displaystyle{ \Omega}\) w którym następujące równanie \(\displaystyle{ y' = 1 + tan(y)}\) będzie miało jedno rozwiązanie. Jak wgl. zabrać się za rozwiązanie tego zadania? Niestety w internecie nie znalazłem żadnych wskazówek i nie przypominam sobie tego tematu aby był na wykładzie z równań różniczkowych :/
Z góry dzięki!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5916
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1282 razy

Re: Wyznaczenie obszaru z jednym rozwiązaniem

Post autor: janusz47 » 1 gru 2017, o 20:18

Funkcja \(\displaystyle{ f(t, y) = 1 +\tg (y(t))}\) dla \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} <y(t)< \frac{\pi}{2}}\) jest ciągła i lipschitzowsko ciągła ze względu na zmienną \(\displaystyle{ y,}\) więc dla dostatecznie małych wartości \(\displaystyle{ \delta>0}\) zagadnienie początkowe (Cauchy) ma na przedziale \(\displaystyle{ (t_{0} -\delta, t_{0}+\delta)}\) dokładnie jedno rozwiązanie.

Proszę znaleźć to rozwiązanie, przyjmując warunek początkowy: \(\displaystyle{ y(t_{0})= 0.}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18349
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3096 razy

Re: Wyznaczenie obszaru z jednym rozwiązaniem

Post autor: a4karo » 1 gru 2017, o 20:30

Tangens jest lipschitzowski?

ODPOWIEDZ