Matematyka.pl

Wyznaczyć rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny krzywych:

\(\displaystyle{ y^2=cx^3}\)

Chcąc rozwiązać to zadanie zaczynam od spierwiastkowania \(\displaystyle{ y}\)-ka, czy nie muszę tego zrobić?

Licząc po spierwiastkowaniu \(\displaystyle{ y=cx^{\frac{3}{2}}\) otrzymałem, że:
\(\displaystyle{ \frac{3y^2}{2}+x^2=c}\)

Licząc bez pierwiastkowania \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ y^3+x^2=c}\)

Który sposób jest poprawny?

W celu znalezienia rodziny krzywych ortogonalnych, czyli trajektorii przecinających rodzinę krzywych pod kątem prostym należy:

- wyznaczyć (wyrugować) parametr \(\displaystyle{ c}\) z układu równań:

\(\displaystyle{ y = \pm c\cdot x^{\frac{3}{2}}\) (1)

\(\displaystyle{ y' = \pm \frac{3}{2}c\cdot x^{\frac{1}{2}}\) (2)

Dzielimy stronami równania (1) , (2)

\(\displaystyle{ \frac{y}{y'} = \frac{2}{3}x}\) (3)

- zastąpić w równaniu (3) \(\displaystyle{ y'}\) przez \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}}\)

\(\displaystyle{ ydy +\frac{2}{3}x dx =0.}\)

Jakie krzywe są trajektoriami ortogonalnymi do rodziny krzywych \(\displaystyle{ y^2 =c\cdot x^3?}\)

janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \frac{y}{y'} = \frac{2}{3}x}\) (3)

- zastąpić w równaniu (3) \(\displaystyle{ y'}\) przez \(\displaystyle{ -\frac{1}{y'}}\)

Mogę prosić o wyjaśnienie, z czego to wynika?

janusz47 pisze:
\(\displaystyle{ ydy +\frac{2}{3}x dx =0.}\)

Jakie krzywe są trajektoriami ortogonalnymi do rodziny krzywych \(\displaystyle{ y^2 =c\cdot x^3?}\)

Po scałkowaniu otrzymałem wynik:
\(\displaystyle{ c=\frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{3}}\)

To prawidłowa odpowiedź, czy może zapisać to w postaci:
\(\displaystyle{ y= \pm \sqrt{\frac{2}{3}x+c}}\)

Jeśli na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy}\) dana jest jednoparametrowa rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{L}}\) krzywych określona równaniem

\(\displaystyle{ \mathcal{K}(x, y, c) =0}\) (1)

to krzywa \(\displaystyle{ \mathcal{L}_{1}}\) przecinające wszystkie krzywe rodziny (1) po tym samym kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) nosi nazwę trajektorii izogonalnej tej rodziny.
Jeśli w szczególności \(\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{2}\pi,}\) to trajektorię izogonalną nazywamy trajektorią ortogonalną.

Niech \(\displaystyle{ M(x,y)}\) będzie dowolnym punktem trajektorii izogonalnej \(\displaystyle{ \mathcal{L}_{1}}\)

Oznaczmy kąty utworzone przez oś \(\displaystyle{ Ox}\) ze styczną \(\displaystyle{ MT}\)do krzywej \(\displaystyle{ \mathcal{L}}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ M}\) i ze styczną \(\displaystyle{ MT_{1}}\) do trajektorii \(\displaystyle{ \mathcal{L}_{1}}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\) odpowiednio przez \(\displaystyle{ \phi , \phi_{1}.}\) (proszę wykonać rysunek)

Wówczas przy przemieszczaniu się punktu \(\displaystyle{ M}\) wzdłuż trajektorii spełniona jest równość

\(\displaystyle{ \phi_{1} = \phi +\alpha =const.}\)

przy czym

\(\displaystyle{ \tg(\phi) = \frac{dy}{dx}, \ \ \tg(\phi_{1})= \frac{dy_{1}}{dx_{1}}.}\)

Załóżmy, że

\(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{1}{2}\pi.}\) i oznaczmy \(\displaystyle{ \tg(\alpha) = k.}\)

Mamy

\(\displaystyle{ \phi = \phi_{1} - \alpha.}\)

A zatem

\(\displaystyle{ \tg(\phi) = \frac{\tg(\phi_{1}) - \tg(\alpha)}{1 - \tg(\alpha)\cdot \tg(\phi_{1})}.}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy_{1}}{dx_{1}} - k}{1 + k\cdot \frac{dy_{1}}{dx_{1}}}}\) (2)

Równość ta ustala związek między kierunkiem stycznej w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ M}\) trajektorii \(\displaystyle{ \mathcal{L}_{1},}\) a kierunkiem stycznej do krzywej \(\displaystyle{ \mathcal{L}}\) rodziny (1) przechodzącej przez ten punkt.

Tworząc równanie różniczkowe rodziny (1), musimy wyeliminować (wyrugować - nie lubię tego słowa)
parametr \(\displaystyle{ c.}\)

W tym celu zwykle eliminujemy ten parametr z układu równań:

\(\displaystyle{ \mathcal{K}(x, y c) =0, \ \ \mathcal{K'}_{|x} + \mathcal{K'}_{|y}\cdot \frac{dy}{dx}=0.}\)

Otrzymujemy

\(\displaystyle{ \mathcal{K}\left( x, y, \frac{dy}{dx}\right) = \mathcal{K}\left(x_{1}, y_{1},\frac{\frac{dy_{1}}{dx_{1}} -k}{1 + k\cdot \frac{dy_{1}}{dx_{1}}}\right)=0}\) (3)

Równość (3) jest równaniem różniczkowym rodziny trajektorii izogonalnych.

Jeżeli \(\displaystyle{ \alpha =\frac{1}{2}\pi,}\) to \(\displaystyle{ \tg \left(\phi_{1}-\frac{1}{2}\pi\right)= -\ctg(\phi_{1}) = -\frac{1}{\tg(\phi_{1})},}\)

więc z (2) otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{\frac{dy_{1}}{dx_{1}}},}\)

a równanie różniczkowe rodziny trajektorii ortogonalnych ma postać:

\(\displaystyle{ \mathcal{K}\left(x_{1}, y_{1}, -\frac{1}{\frac{dy_{1}}{dx_{1}}}\right) = 0.}\)

Dziękuję. Szkoda, że nie mogę kliknąć „pomógł”.

Dziękuję!