Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania Lagrange'a, nie mam pojęcia jak się za to zabrać.
\(\displaystyle{ x=t(x')^2+x'}\)
Równanie Lagrange'a
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Re: Równanie Lagrange'a
Najpierw zróżniczkujmy równanie stronami:
\(\displaystyle{ x'=(x')^2+2tx'x''+x''}\)
Podstawiamy pomocniczą zmienną:
\(\displaystyle{ z=x'}\)
i kontynuujemy:
\(\displaystyle{ z=z^2+2tzz'+z'}\)
\(\displaystyle{ z'(2tz+1)=z-z^2}\)
Przechodzimy teraz do równania zmiennej \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ 2tz+1=t'(z-z^2)}\)
Jest to równanie liniowe, nie powinieneś mieć kłopotu z jego rozwiązaniem.
\(\displaystyle{ x'=(x')^2+2tx'x''+x''}\)
Podstawiamy pomocniczą zmienną:
\(\displaystyle{ z=x'}\)
i kontynuujemy:
\(\displaystyle{ z=z^2+2tzz'+z'}\)
\(\displaystyle{ z'(2tz+1)=z-z^2}\)
Przechodzimy teraz do równania zmiennej \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ 2tz+1=t'(z-z^2)}\)
Jest to równanie liniowe, nie powinieneś mieć kłopotu z jego rozwiązaniem.
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 14 razy
Re: Równanie Lagrange'a
Mógłbyś wytłumaczyć mi to przejście?Przechodzimy teraz do równania zmiennej t:
\(\displaystyle{ 2tz+1=t'(z-z^2)}\)
Ostatnio zmieniony 30 lis 2017, o 20:31 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Re: Równanie Lagrange'a
\(\displaystyle{ z'(2tz+1)=z-z^2}\) oznacza dokładnie tyle co \(\displaystyle{ \frac{\dd z}{\dd t}(2tz+1)=z-z^2}\). Mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ \frac{\dd t}{\dd z}}\) dostaniemy równanie liniowe względem \(\displaystyle{ t}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 14 razy
Re: Równanie Lagrange'a
Z moich obliczeń wynika, że:
\(\displaystyle{ t=(1-z)^{-2}\cdot (\frac{1}{1-z}-\ln(z-1)+\ln(z)+c)}\)
Dobrze to policzyłem? Co dalej?
\(\displaystyle{ t=(1-z)^{-2}\cdot (\frac{1}{1-z}-\ln(z-1)+\ln(z)+c)}\)
Dobrze to policzyłem? Co dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Re: Równanie Lagrange'a
Ja akurat otrzymałem takie rozwiązanie równania liniowego:
\(\displaystyle{ t=\frac{\ln z-z+C}{(1-z)^2}}\)
Niemniej jest to ten przypadek, w którym dochodzimy jedynie do postaci uwikłanej i trudno odzyskać funkcję \(\displaystyle{ z(t)}\), by potem jako rozwiązanie wyjściowego równania podać funkcję pierwotną funkcji \(\displaystyle{ z}\)...
\(\displaystyle{ t=\frac{\ln z-z+C}{(1-z)^2}}\)
Niemniej jest to ten przypadek, w którym dochodzimy jedynie do postaci uwikłanej i trudno odzyskać funkcję \(\displaystyle{ z(t)}\), by potem jako rozwiązanie wyjściowego równania podać funkcję pierwotną funkcji \(\displaystyle{ z}\)...