Równanie różniczkowe Bernulliego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Równanie różniczkowe Bernulliego

Post autor: piksi111-97 » 29 lis 2017, o 22:03

Dzień dobry,
Od kilku godzin głowię się nad rozwiązaniem następującego równania:

\(\displaystyle{ 3x^2y'-y^3=x+1}\)

W zbiorze zadań ten przykład znajduje się pod tematem wyznaczania rozwiazań ogólnych równań Bernulliego, lecz trochę nie pasuje mi to równanie ze względu na brak wolnej funkcji \(\displaystyle{ y(x)}\) w równaniu. Próbowałem wieloma metodami rozwiązać to równanie lecz nieskutecznie. Wolfram Alpha też nie pomógł.
Jeśli ktoś byłby mi w stanie pomóc z góry dziękuję!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18718
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3714 razy

Re: Równanie różniczkowe Bernulliego

Post autor: szw1710 » 29 lis 2017, o 22:16

A może chodziło o równanie \(\displaystyle{ 3y^2y'-y^3=x+1}\)? Podstawiając nową funkcję niewiadomą \(\displaystyle{ u=y^3}\) łatwo dostaje się równanie liniowe. W książkach pełno błędów drukarskich. Rozwiąż równanie jakie ja proponuję i porównaj z odpowiedzią w książce.

piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Równanie różniczkowe Bernulliego

Post autor: piksi111-97 » 29 lis 2017, o 22:20

Muszę jutro zapytać się mojego wykładowcy czy się nie pomylił. Dzięki za wskazówkę. Jeszcze się jutro odezwę gdyby jednak chodziło o coś innego.

-- 30 lis 2017, o 01:58 --

Mam jeszcze jedno pytanie co do wyznaczenia obszaru \(\displaystyle{ \Omega}\) w którym następujące równanie \(\displaystyle{ y' = 1 + tan(y)}\) będzie miało jedno rozwiązanie. Jak wgl. zabrać się za rozwiązanie tego zadania? Niestety w internecie nie znalazłem żadnych wskazówek i nie przypominam sobie tego tematu aby był na wykładzie z równań różniczkowych :/ Z góry dzięki!-- 30 lis 2017, o 15:51 --Dziękuję szw1710 za pomoc. Miał Pan rację - wystąpił błąd przy przepisywaniu zadania.
Pozdrawiam

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18718
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3714 razy

Re: Równanie różniczkowe Bernulliego

Post autor: szw1710 » 1 gru 2017, o 22:39

[quote]Mam jeszcze jedno pytanie co do wyznaczenia obszaru \Omega w którym następujące równanie y' = 1 + tan(y) będzie miało jedno rozwiązanie. Jak wgl. zabrać się za rozwiązanie tego zadania? Niestety w internecie nie znalazłem żadnych wskazówek i nie przypominam sobie tego tematu aby był na wykładzie z równań różniczkowych :/ Z góry dzięki![/quote]

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych. Dla niego mamy pewien wniosek z ogólnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu początkowego. Zobacz np. w książce Krysickiego (II tom).

ODPOWIEDZ